COMMENT EST NÉE LÀ GÉOMÉTRIE GENERALE

Euclide (300 ans avant J. G.) ' avait demandé ce qu'on appelle le postulat des trois droites ou postulat V : Deux droites d'un plan coupées par une troisième avec laquelle elles font, d'un côté, des angles intérieurs dont la somme est moindre que deux droits se rencontrent de ce côté, postulat complété par cet autre que deux droites ne peuvent renfermer un espace. Ainsi que nous l'avons déjà dit, on a coutume de réunir ces deux demandes en un postulat unique : Par un point pris sur un plan en dehors d'une droite, on peut mener dans ce plan une droite qui ne rencontre pas la première et on ne peut en

mener qu'une.

11 ne se passa pas un temps bien long sans que l'on cherchât à se débarrasser d'une demande qui choquait comme une imperfection de la géométrie. C'est ainsi que Posidonius [\^' siècle avant J.-G.) proposa d'appeler parallèles deux droites d'un plan qui sont équidistantes : nous savons en effet que ce n'est que sur l'horisphère, parmi les surfaces isogènes, que l'équidistante d'une géodésique est une géodésique : admettre qu'il en est ainsi sur le plan, c'est donc poser l'équivalent du postulatum d'Euclide.

Proclus (410-485 après J.-G.) admit que la distance de deux parallèles est toujours finie et en déduisit le postulatum : nous savons en effet que, d'une part, sur

(1) Nous nous servirons particulièrement, pour cette esquisse historique, du résumé de La Geometria non-euctidea de Bonola, donné par M. Mansion dans la Revue des questions scientifiques d'octobre 1907.

les sphères toutes les géodésiques se coupent (il n'y a pas de parallèles) et que, d'autre part, sur les hypersphères les géodésiques ne se rencontrant pas divergent indéfiniment au moins d'un côté.

Mais Proclus fit bien mieux que de trouver un équivalent du postulatum. G'est à lui en effet qu'on doit d'avoir noté à deux reprises, dans son commentaire du premier livre d'Euclide, qu'il n'est pas impossible qu'il y ait des droites asymptotes l'une de l'autre : deux droites coupées par une transversale avec laquelle ellc^ forment des angles internes dont la somme est inférieure à deux droits pourraient ne pas se rencontrer, bien que, le segment de la transversale restant le même, les droites se rencontrassent, si la somme des angles internes diminuait. G'était poser la définition de l'hypersphère ; mais il fallut plus de treize siècles pour permettre à ce germe de se développer.

Un Arabe, Nassireddin (1201-1274), admit comme postulat l'existence du rectangle, ce qui équivaut à poser Tégalité à deux droits de la somme des angles d'un triangle : ainsi reprend le déroulement des propositions équivalentes au postulatum d'Euclide.

A la Renaissance et au xyu*^ siècle, une série de géomètres adoptent au fond le postulat de Posidonius, mais l'un d'eux, Giordano Vitale (1633-1711), le restreint, car il parvient à le prouver si seulement trois points d'une droite sont à la même distance d une autre droite.

Un contemporain de ce dernier, Wallis (1616-1713) eut l'idée de démontrer le postulatum d'Euclide en s'appuyant sur cette proposition : il existe des triang les semblables, A un point de vue purement mathématique, l'idée n'était pas heureuse, attendu que le nouveau postulat était plus compliqué que celui qu'il s'agissait de démontrer, car il contenait des conditions superflues. Mais nous verrons plus loin quel heureux parti Delbœuf, complétant Laplace, put en tirer au point de vue philosophique ; il sut faire reposer sur lui le seul argument