CHAPITRE III

contre les •i^éométries non-euclidiennes qui nous paraisse ne pas s'effondrer — ce qui ne veut pas du reste dire que nous nous inclinions devant lui.

Enfin, bien plus tard, Wolfgang Bolyai (1775-1856), père de Jean Bolyai, a pris comme postulat : par trois points on peut toujours faille passer un cercle, ce qui n'exclut pas la géométrie sphérique et équivaut au postulat de Wachter (1792-1817) : par quatre points on peut toujours faire passer une sphère ^

Comment peut-on résumer cette longue phase de la question, à part la géniale vue d'avenir de Proclus? on étudie une surface, le plan, et sa géodésique, la droite ; mais on ne met, au fond, dans la définition de cette surface et de cette ligne, que cette double idée que cette surface est isogène et retournable autour de sa géodésique. Or cela ne suffit pas pour qu'on puisse en établir complètement la géométrie ; il arrive un moment où l'on est placé entre diverses hypothèses qui, au point de vue logique, sont égales, aucune ne pouvant être démontrée ni réfutée. C'est alors que se présente ce flottement si caractéristique, chacun admettant, selon ses tendances personnelles, telle ou telle proposition comme évidente : au fond, le choix importe assez peu, pourvu qu'il porte sur une proposition qui achève réellement la définition du plan.

Ce qui détermine tout ce travail, c'est la pensée qu'on est en présence d'un espace et d'une surface retournable bien définis dont il s'agit d'établir toutes les propriétés, et l'on admet pour vrai un minimum de propositions sans démonstration.

Au xviii® siècle, soit espoir d'aboutir à une démonstration par l'absurde du postulatum, soit simple curiosité d'esprit, soit enfin conception plus ou moins nette d'une géométrie plus générale que la géométrie vulgaire, on

(1) Wachter sut voir que le postulatum d'Euclide serait en tout cas vrai sur une sphère de rayon infini.

voit plusieurs mathématiciens entreprendre de tirer les conclusions d'hypothèses non euclidiennes.

Voici d'abord le jésuite Saccheri (1667-1733) qui, dans son Euclides ah omni nœvo vindicatus, considère un quadrilatère birectangle isocèle et remarque qu'on peut faire troi| hypothèses sur les angles dont on n'a pas défini la grandeur : ils peuvent être, mais tous deux à la fois, droits, obtus ou aigus. La première hypothèse répond à la géométrie d'Euclide et avait été adoptée comme postulat par Nassireddin. La seconde est incompatible avec des propositions d'Euclide antérieures à la théorie des parallèles et écartée pour ce motif par Saccheri. Remarquons à ce sujet que cette raison était faible, car que deux droites n'aient qu un point commun est aussi bien un postulat que le postulat V ; mais il y avait une raison plus profonde à l'élimination de cette hypothèse, ce qui fait que bien d'autres l'écarteront également : c'est que le plan apparaît essentiellement comme une surface infinie et que l'hypothèse de l'angle obtus conduit à une surface fermée. Aussi voit-on Legendre (1752-1833) prouver que la somme des angles d'un triangle ne peut être supérieure à deux droits, en s'appuyant sur une construction qui suppose une ligne droite infinie. Donc Saccheri ne poursuit que fétude de l'angle aigu, et il arrive à étabUr rigoureusement ce théorème fondamental de la géométrie de l'hypersphère : Deux droites se rencontrent, ou sont asymptotes, ou ont une perpendiculaire commune. Ajoutons qu'il s'empresse de renverser son œuvre en déclarant qu'il répugne à la nature de la ligne droite que deux droites puissent avoir une perpendiculaire commune en un point commun à l'infini : cette négation constitue son subtil postulatum. Lambert (1728-1777) poursuit dans la même voie et montre que, dans l'hypothèse de l'angle aigu, Faire d'un triangle est proportionnelle à la différence entre deux droits et la somme de ses angles.

Après ces précurseurs apparaît le véritable fondateur,

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Gauss (1777-1855), qui malheureusement ne fit pas connaître ses recherches \ De 1794 à 1816, il s'assimila ou retrouva et compléta, sous la forme la plus nette, les résultats acquis sur les principes de la géométrie. « A partir de 1816, au moins, il voit, dit M. Mansion, que la géométrie non euclidienne dépendant d'un paramètre est aussi légitime que la géométrie euclidienne correspondant à une valeur infinie de ce paramètre ^ ; il trouve la métrique non euclidienne ».

Schweikart (1780-1859) énonce à nouveau quelques théorèmes dus à Saccheri et Lambert, mais a le mérite de déclarer que cette géométrie hypersphérique, qu'il appelle astrale, est peut-être réalisée dans la nature.

Taurinus (1784-1874) publie en 1826 ses Geometriœ prima Ëlementa, où il développe complètement cette géométrie, mais en supposant imaginaires les côtés d'un triangle sphérique.

Enfin apparaît Lobatchefsky (1793-1856) qui est le principal créateur de la géométrie non euclidienne, parce que le premier il en a exposé les principes (1829) et en a fait de nombreuses appHcations au calcul intégral. Mais il faut bien remarquer qu'il n'a développé que l'hypothèse de l'angle aigu de Saccheri, de sorte que la géométrie qui porte son nom est celle de l'hypersphère et de l'espace hypersphérique. Mais, bien entendu, il conserve le vocabulaire euclidien, appelant plan et droite l'hypersphère retournable et l'hypercycle, sa géodésîque, n'appliquant ces noms d'hypercycle et d'hypersphère qu'aux surfaces et lignes analogues mais non retourna blés ni géodésiques de l'espace.

Jean Bolyai (1802-1860) eut le malheur de ne publier que trois ans après Lobatchefsky un exposé très condensé de la même géométrie.

(4) Il craignait « les clameurs des Béotiens », comme il le dit dans une lettre à Bessel du 27 janvier 1829.

(2) Nous avons déjà fait des réserves sur la portée de ce paramètre et nous v reviendrons.

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D'après la tendance des esprits que nous avons constatée, on devait en effet établir d'abord complètement la géométrie basée sur l'hypothèse de l'angle aigu. Ce fut Riemann (1826-1866) qui eut la gloire de développer celle de l'angle obtus, et c'est pour cela que la géométrie des espaces sphériques est connue sous le nom de géométrie riemannienne.

Par cette géométrie se complétait la géométrie générale des espaces isogènes ; mais elle n'apparaissait pas avec l'unité qu'elle revêt dans le bref exposé que nous en avons fait dans le chapitre précédent : il y avait trois géométries absolument distinctes.

Il nous reste, avant de résumer les polémiques diverses auxquelles ont donné lieu les géométries non euclidiennes, à expliquer pour quel motif nous nous en tenons aux trois géométries dont nous venons de parler. Il est clair que, parlant spécialement ici de la géométrie métrique, comme dans le chapitre précédent, nous n'avons pas à nous occuper des géométries qui ont fait l'objet de notre premier chapitre. Mais n'y a-t-il pas d'autres géométries métriques, reposant sur la négation d'autres postulats que les postulats o et 6 d'Euchde? à ce propos nous dirons naturellement quelques mots de cette assertion maintes fois répétée que c'est bien à tort qu'on fait un sort particulier au postulatum d'Euclide, alors qu'il faut, au même titre, un grand nombre de postulats.

Pour permettre d'apprécier ce qu'il y a de vrai et de faux dans cette assertion, nous allons reproduire, à titre d'exemple, les vingt postulats de M. Pieri ', en y ajoutant quelques brèves réflexions. Et d'abord on doit se souvenir que ces postulats sont des propositions permettant de déduire toute la géométrie suivant les règles de

(1) Nous en emprunterons l'énoncé au livre tant de fois utilisé par nous que M. Couturat a consacré aux Principes des Mathématiques.