CHAPITRE lîl

la logistique : il faut donc qu'ils contiennent tout Tes sentiel de la notion d'espace isogène à trois dimensions.

« I. Point et mouvement sont des concepts génériques ou des classes.

(( II. Il existe au moins un point

« III. Si p est un point, il existe un point différent

de p.

« IV. Tout mouvement est une correspondance biuniforme entre deux figures ». Cela signifie, dit M. Couturat, qu'à des points identiques correspondent des points identiques, et qu'à des points différents correspondent des points différents.

(( V. Quel que soit le mouvement [x, qui fait correspondre par exemple le point // au point x, il existe un mouvement ^[k qui fait correspondre le point x au point // (quels que soient x et y).

a VI. Deux mouvements ijl et v effectués successivement, l'un sur le résultat de l'autre, équivalent à un seul mouvement.

« VII. Pour chaque couple de points distincts, il existe un mouvement effectif qui les laisse fixes ». Ce postulat affirme l'existence du mouvement de rotation d'une figure quelconque autour de deux de ses points. C'est une conséquence de ce que l'espace est isogène et a au moins trois dimensions.

« VIII. «, 6, c étant des points distincts, s'il existe un mouvement effectif qui les laisse fixes, tout autre mouvement qui laisse fixes a et h laisse fixe aussi c ».

Ce postulat limite à trois le nombre des dimensions de l'espace. Il sert de base à la définition de la droite : les trois points a, h, c sont dits coUinéaires. C'est d'ailleurs, à proprement parler, le premier postulat que nous rencontrions, tous les autres étant manifestement contenus dans la notion d'un espace isogène à trois dimensions : c'est le postulat de la géodésique ou, si l'on aime mieux, de la ligne droite. On remarquera que c'est un des axiomes ou conditions nécessaires de toute expé-

rience possible que pose M. Russell dans son Essai sur les fondements de la géométrie, antérieur à ses travaux de logistique. M. Couturat fait remarquer que ce postulat exclut l'espace riemannien, et en effet, du moment qu'on exclut tout cas exceptionnel, cet espace est écarté puisque le postulat n'est pas vérifié lorsque deux des trois points sont conjugués. On notera, en passant, combien criticable est cette méthode qui écarte une géométrie précisément en posant un de ses postulats, mais par l'omission de la réserve d'un cas exceptionnel. Quoi qu'il en soit de ce détail, il est très important de noter que ce postulat a été démontré par Lobatchefsky sans s'appuyer sur autre chose que le caractère d'isogénéité de l'espace. On trouve cette démonstration dans les Nouveaux Principes de la Géométrie avec une théorie complète des paraimes, dont la traduction est due à M. MalUeux, avocat, mais avocat formé à l'école de Delbœuf *.

Le plan est ensuite défini comme suit : « a, h, c étant trois points non collinéaires, on appelle plan ahc la figure formée par toutes les droites qui joignent a à un point de hc. h à un point de r?c et c à un point de ah » ; on a alors le postulat suivant :

(( IX. «, h, c étant trois points non colHnéaires et d un point de hc autre que A, le plan ahd est contenu dans le plan ahc ». Ce postulat équivaut à dire que trois points non collinéaires définissent un plan et qu'un plan contient toute droite qui joint deux de ses points.

« X. « et ^^ étant des points distincts, il y a un mouvement qui laisse fixe a et transforme h en un autre point de la droite ah ». C'est là une conséquence de ce

(1) Cet ouvrage est très original. Lobatchefsky y rléfinit le plan comme élant la surl'ace engendrée par rinterscclion de siirlaces sphéi-iques égales dont les centres sont fixes. On doit bien î-J^mf"'" quer que la notion de sphères égales ne suppose pas celle de ligne droite, car peu importe la forme de la liaison entre deux points qui permet de dire que tous les points de la sphère sont a égale distance du centre.