HISTOIRE

ET POLÉMIQUES RELATIVES A LA GÉOMIÉTRÏE 7t

que Tespace a au moins deux dimensions et est isogène et de ce que la droite est sa géodésique et qu'elle est retournable.

(( XI. a, h étant des points distincts, si deux mouvements qui laissent fixe a transforment h en un autre point de la droite «ô, ce point est le même dans les deux mouvements ». Cela signifie que sur une droite il n'y a que deux points également distants d'un même point.

c< XII. a, h étant des points distincts, il y a un mouvement qui transforme a en ^ et qui laisse fixe un point de la droite ab ». Etant donnée la retournabilité déjà posée de la droite ab, cela signifie que le segment ab a un point milieu, conséquence de la continuité de l'espace.

« XIII. «, b, c étant trois points non collinéaires, il y a un mouvement qui laisse fixes a et <^ et qui transforme c en un autre point du plan abc ». C'est le postulat de la retournabilité du plan, comme le postulat X est celui de la retournabilité de la droite.

(( XIV. a.b.c étant des points non collinéaires, et d, e des points du plan abc communs aux sphères c^ et cu et différents de c, ces deux points ^/et e coïncident ». En d'autres termes, dit M. Gouturat, il n'y a dans le plan abc qu'un seul point, autre que c, qui ait les mêmes distances que c aux points « et b.

Nous reconnaissons que ce postulat ne se déduit pas immédiatement du concept d'espace isogène ; pour s'en passer il faudrait suivre une marche toute différente. On remarquera qu'il sert, semble-t-il, à définir la perpendicularité de deux droites par un mouvement dans l'espace à trois dimensions, nouvel exemple, serait-on porté à dire, de cette méthode regrettable qui fait reposer la géométrie à deux dimensions sur celle à trois dimensions ; mais on va voir à Tinstant ce que pourrait répondre M. Gouturat au point de vue de la géométrie de congruence.

« XV. a, b, c étant des points non collinéaires, il

existe au moins un point en dehors du plan abc ». Ce postulat pose l'existence de la troisième dimension. Si, dit M. Gouturat, nous avions appris à retourner le plan, nous n'en étions pas encore sortis, puisque nous n'avions pas à envisager ses positions intermédiaires. Mais nous ne voyons pas comment il avait pu parler de sphères sans sortir du plan. Quoi qu'il en soit, avec la géométrie vraiment métrique, nous avions déjà posé l'espace à trois dimensions par le postulat du retournement du

plan.

(( XVI. fl, b, c, d étant quatre points non complanaires, il existe un mouvement qui laisse fixes a et ô et qui transforme d en un point du plan abc ».

En d'autres termes, on peut rabattre le plan abd sur le plan abc autour de leur droite commune ab. C'est une conséquence immédiate de l'isogénéité de l'espace.

D'autre part on pourrait le remplacer par le suivant : la rotation d'un plan autour d une de ses droites engendre tout l'espace. Nous avons donné une démonstration de ce postulat, ou du moins de son analogue concernant la génération d'une surface isogène par la rotation d une

géodésique *.

(( XVII. a, b, c, d étant quatre points collinéaires distincts, le point d ne peut se trouver sur un seul des segments ab, ac, bc ».

En d'autres termes, ou d ne se trouve sur aucun de ces segments, ou il se trouve sur deux au moins d'entre eux. Cela résulte de ce que le segment ac, par exemple, est la somme des segments ab et bc : tout point de ac appartient en même temps à ab ou bc, et réciproquement tout point de ab ou bc appartient à ac.

Le postulat, au point de vue logistique, sert, avec le suivant, à déterminer Tordre linéaire des points de la droite.

(1) Nouvelles annales de mathématiques, décembre 1891 (théorème l).

CHAI^lTRE Tit

« XVIII. a, b, c étant trois points collinéaires, si c est entre a et b, aucun point ne peut être à la fois entre a et c et entre b eic ». Ce n'est là qu'une explicitation du mot « entre » : dire que c est entre a et b, c'est dire qu'il divise le segment ab en deux parties.

« XIX. a, b, c étant trois points non collinéaires, toute droite du plan abc qui rencontre le segment ab doit rencontrer aussi le segment ac ou le segment bc, si elle ne passe par aucun des points a,b, c ».

Nous avons démontré ce pobtulat pour toute surface

isogène *.

« XX. Si k est un ensemble de points contenu dans le segment ab, il existe dans ce segment un point x tel qu'aucun point k n'est entre j: et 6 et que, pour tout point y situé entre a et j:, il y a un point k situé entre y et X ou coïncidant avec x ». Ainsi que l'indique M. Couturat, on peut déduire de ce postulat celui qui est souvent désigné sous le nom d'Archimède, bien que, d'après M. Mansion, il soit dû à Eudoxe. Quoi qu'il en soit, voici ce postulat tel que l'énonce M. Hilbert :

« Soit Al un point quelconque situé sur une droite entre les points quelconques donnés A et B. Construisons alors les points A„ A3, A„... tels que A, soit situé entre A et A,, que A^ soit situé entre A^ et A3, que A3 soit situé entre A, et A,... et ainsi de suite, et tels en outre que les segments A Ai, AjA^, AA^ A3A4,... soient égaux entre eux ; alors dans la série de points A^, A3, A4... il existera toujours un certain point K tel que B

soit situé entre A et An ».

Comme le dit M. Couturat, cet axiome est le fondement de la mesure des grandeurs ou, selon l'expression de M. Mansion, est la définition des grandeurs de même espèce ^ On peut en dire encore, avec M. Hilbert, que

(1) Nouvelles annales de mathématiques, décembre 1891 (théorème IX. la figure 12 doit y être remplacée par la figure 11). ^

(2) M. Mansion conclut de là que la géométrie non archimedienne n'est pas une géométrie, les dislances n'y étant pas des

c'est lui qui rend possible l'introduction dans la géométrie de la notion de continuité. On voit donc que nous l'avions supposé implicitement toutes les fois que nous avons traité les segments comme des grandeurs et admis la continuité de notre espace.

C'est précisément là le caractère de ce système de postulats, comme de tous les autres systèmes analogues, d'extraire de la notion d'un ensemble continu et isogène à trois dimensions quelques propositions qui en soient l'équivalent logique. Si l'on ne tient pas à la continuité, on écarte le postulat d'Eudoxe ou d'Archimède, et l'on obtient des géométries telles que celles qu'a étudiées M. Dehn, élève de M. Hilbert, une géométrie semieuclidienne, où la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits, mais où par un point passent une infinité de droites non sécantes d'une droite donnée, et une géométrie non legendrienne, fondée sur l'hypothèse de l'angle obtus et dans laquelle la droite est une ligne infinie.

Si nous ne nous attachons pas à de telles géométries, aussi légitimes que les autres, c'est parce que l'espace nous apparaît comme essentiellement continu et que nous cherchons à préciser la science de l'espace.

Pour en revenir aux systèmes de postulats tels que ceux de M. Pieri, on peut voir maintenant, autant du moins que le comporte une étude aussi sommaire que celle que nous venons d'esquisser, que ces postulats ont pour résultat principal de ramener à un nombre restreint de propositions précises la notion générale d'une forme d'extériorité continue et isogène à trois dimensions. Quant au postidatum d'Euclide, réunion de ses postulats o et 6, il ne rentre pas dans la constitution de cette notion, et il faut bien dire que^, sous sa forme classique, il ne montre pas le caractère spécial par lequel il caractérise une sous-

grandeurs (Annales de la Société scientifique de Bricœelles, 1905, t. XXIX, p. 196).

uu.

CBAPItRE lll

classe de la classe des espaces isogènes, à savoir l'homogénéité On comprend donc bien qu'il soit resté isolé et que, prenant le parti de le laisser de côté, on ait étudié les diverses hypothèses pouvant le remplacer : en leur ajoutant le cas même d'admission du postulatum, on a obtenu la géométrie générale des espaces isogènes à trois dimensions, puis, écartant cette limitation stricte du nombre des dimensions, on a obtenu la métagéométrie qui envisage des espaces d'un nombre quelconque de dimensions.

Nous allons maintenant étudier succinctement les objections principales qui ont été élevées contre la géométrie générale.