LES OBJECTIONS CONTRE LA GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE

La première méthode qui se présente à l'esprit pour confondre les partisans de la géométrie générale consiste à chercher une démonstration du posUdalnm d'Euclide, notamment en montrant que les hypothèses contraires conduisent à des contradictions, et c'est bien par là qu'on a commencé; aujourd'hui encore des esprits souvent ingénieux s'exercent à ce sport, définitivement condamné ainsi que nous allons le voir. Considérés en eux-mêmes, ces essais de réfutation reposent invariablement sur l'admission, implicite ou explicite, d'une proposition équivalente au postulatum : nous avons vu plus d'une de ces propositions dans le paragraphe précédent. A titre d'exemple particulièrement ingénieux, nous avons cité, dans notre Introduction a la néométrie générale (p. 50), la démonstration due au mathématicien Carton, et nous en avons fait ressortir

le vice essentiel.

Quoi qu'il en soit, ainsi que nous Vavons dit. on est en droit d'affirmer que ces essais sont forcément con-

ttlStOIRE ET POLÉMIQUES RELATIVE^ A LA GÉOMÉTRIE

damnés à l'insuccès, les géométries non euclidiennes ne pouvant être convaincues de contradiction sans entraîner ipso facto la ruine de la géométrie euclidienne.

A ce sujet, tout le monde a vu maintes fois reproduite la célèbre théorie du Dictionnaire de M. Poincaré, exposée par lui dans un article de la Revue générale des sciences pures et appliquées ' et reproduite dans son livre sur la Science et l' hypothèse (p. 57). Cette théorie

est ainsi formulée :

(( Considérons un certain plan que j'appellerai fonda- « mental et construisons une sorte de dictionnaire, en (( faisant correspondre chacun à chacun une double suite c( de termes écrits dans deux colonnes, de la même façon ik que se correspondent, dans les dictionnaires ordinai- « res, les mots de deux langues dont la signification est

(( la même. »

(Suit un extrait du Dictionnaire),

« Prenons ensuite les théorèmes de Lobatchewski « et traduisons-les à Faide de ce dictionnaire comme c< nous traduirions un texte allemand à l'aide d'un « dictionnaire allemand-français. Nous obtiendrons ainsi « des théorèmes de la géométrie euclidienne. » (Suit

un exemple).

u Ainsi, quelque loin que l'on pousse les hypothèses « de Lobatchewski, on ne sera jamais conduit à une « contradiction. En effet, si deux théorèmes de Lobat- « chewski étaient contradictoires, il en serait de même « des traductions de ces deux théorèmes, faites à l'aide <:< de notre dictionnaire ; mais ces traductions sont des « théorèmes de géométrie ordinaire. »

Réduit à ces termes, l'argument de M. Poincaré a été souvent invoqué sans que ses admirateurs parussent éprouver le moindre besoin de le compléter ; pour nous,

(1) Les géométries non euclidiennes, dans le numéro du 15 décembre 1891. ^

il ne nous satisfaisait guère, et nous avons d'abord regardé comme très juste une critique extrêmement vive qu'en a présentée M. Milhaud dans sa thèse sur les conditions et les limites de la certitude logique. Remarquant que M. Poincaré établit son dictionnaire sans paraître s'inquiéter aucunement du sens des vocables mis en regard des termes de la géométrie euclidienne, il formule une objection qui, contestable dans les termes généraux qu'il lui a donnés, semble irréfutable considérée dans les exemples, dont voici le premier :

(( Je suppose que, partant d'une proposition acceptée « de tout le monde, comme : certains nombres sont à la (. fois impairs et premiers (3, 5, 7, IJ ...), on tire telles « conséquences logiques qu'il plaira ; puis, pour passer « de cette chaîne de déductions à une autre, que l'on « construise le vocabulaire que voici :

« Nombre se traduira « Impair — « Premier —

Homme

Vivant

Mort

(( On énoncera alors d'abord : Certains hommes sont à « la fois vivants et morts. Puis, viendra une série de « propositions se succédant en bonne logique, comme c( celles dont elles seront la traduction. Qui songera à « dire que la correspondance terme à terme de cette « suite d'énoncés à une suite de déductions arithméti- « ques garantit l'absence de contradiction de ces énon-

« ces • ? »

A s'en tenir à Texposé de M. Poincaré, il nous semble que l'objection est convaincante ; mais Calinon nous a montré que cet exposé, convenablement complété, a une tout autre signification et une tout autre portée que celle qui lui est attribuée par M. Milhaud. La chose vaut qu'on

y insiste.

Le point de départ de Calinon est tout entier dans cette

remarque fort simple que, lorsque l'oix a constaté que plusieurs problèmes aboutissent au même système d'équations, il suffit d'en traiter un seul par la méthode algébrique, la solution trouvée convenant aux autres, sous réserve du sens particulier à donner aux inconnues dans chaque problème ; c'est là ce qu'il appelle le principe des transpositions, principe ne soulevant aucune difficulté en arithmétique. En géométrie, ce principe trouve naturellement à s'apphquer, et même sa forme algébrique peut disparaître, tout en le laissant subsister au fond : c'est ce qui arrive dans la théorie classique des figures corrélatives, qui permet de passer sans démonstration d'un théorème à un autre, par une simple substitution de mots. Le dictionnaire de M. Poincaré n'est qu'une application de cette méthode Sa légitimité repose sur le fait que les quantités euclidiennes et non euclidiennes qu'il met en regard sont liées, de part et d'autre, par les mêmes équations fondamentales, que l'on démontre séparément dans Vune et C autre géoniétric. Dès lors, si l'on admet que la géométrie euclidienne ne saurait aboutir à une contradiction, on est bien obligé d'admettre qu'il en est de même de celle qui s'en déduit par transposition, puisque l'une et l'autre ne sont que deux énoncés différents d'un même développement analytique.

Poussant la question plus loin que M. Poincaré, Calinon cherche à établir que ce développement analytique commun ne saurait, en effet, aboutir à une contradiction. La géométrie euclidienne repose tout entière sur les quatre données suivantes : 1° il y a une ligne, appelée ligne droite, telle que par deux points il en passe toujours une et une seule ; 2® il y a une surface, appelée plan, telle qu'une droite qui a deux points situés sur cette surface y est située tout entière ; 3° la somme des angles d'un triangle rectiligne est la même pour tous les triangles ; 4° une figure peut se déplacer dans tous les sens en restant égale à elle-même. Or, les trois premières