CHAPITRE lit

propositions s'expriment par la représentation du plan au moyen d'une équation de la forme :

A^ + By H- C2 + D = 0,

si Ton prend trois axes de coordonnées, et par la représentation de la droite au moyen de deux équations du même genre. Quant à la quatrième proposition, elle est implicitement comprise dans cette autre proposition : les formules relatives au changement des axes de coordonnées sont du premier degré '.

L'analyse montre aisément que ces équations ne présentent aucune contradiction, d'où il suit que la géométrie euclidienne, qui n'est qu'une traduction des transformations de ces équations, ne saurait non plus en présenter, si l'analyse elle-même n'en présente pas. La méthode de M. Poincaré permet d'étendre cette proposition à la géométrie de Lobatchefsky, à laquelle, du reste, on pourrait appliquer la méthode directe, en partant de ses trois propositions fondamentales, identiques aux propositions 1,

2, 4 de celle d'EucUde.

On se souvient du reste que, dans notre premier chapitre, nous avons rappelé comment de Tilly a établi une triple géométrie numérique qui garantit qu'aucune contradiction ne peut exister dans les trois géométries des espaces isogènes s'il n'en existe pas dans son développement purement analytique.

Nous devons ajouter que les plus avisés parmi les contradicteurs de la géométrie générale ont depuis longtemps renoncé à la réfuter au moyen d'une démonstration du postulatum. Toutefois l'un de ces attardés qui ne savent pas renoncer à chercher une démonstration de l'indémontrable, M. Delsol, a abordé la question sous une forme vraiment nouvelle et a su faire preuve, dans une tentative condamnée d'avance, d'une ingéniosité telle que nous ne croyons pouvoir la passer sous silence ;

(1) La relativité du mouvement fait qu'un changement d'axes est équivalent à un mouvement de la figure.

HISTOIRE ET POLÉMIQUKS RELATIVES A LA GÉOMÉTRIE 8o

mais elle exigerait un tel développement que nous renverrons simplement à .son volume intitulé Principes de Géométrie, ainsi qu'à l'article que nous lui avons consacré dans la Revue de Métaphf/sique et de Morale de septembre 1904 et à sa réplique insérée dans le numéro de mars 1905.

Etudions donc ce qu'ont dit les adversaires de la géométrie générale qui renoncent à la convaincre de contradiction. Notons toutefois que nous ne rangerons point parmi ces adversaires ceux qui se bornent à l'écarter comme dépourvue d'intérêt. Par exemple, Stuart Mill admet avec le D*" Whewell que « non seulement une définition doit, pour être admissible, se rapporter nécessairement et être conforme à quelque conception distinctement formée dans l'esprit », mais encore que les lignes droites, par exemple, que nous définissons doivent être (( celles par lesquelles les angles sont formés, celles par lesquelles les triangles sont limités, celles dont le parallélisme peut être affirmé, etc. ». Mais, pour lui, la raison d'être de cette exigence est que les conclusions qu'on pourrait tirer « d'hypothèses purement arbitraires... nous apprendraient seulement quelles seraient les propriétés d'objets qui n'existent pas réellement», « qu'elles n'ajouteraient rien à notre connaissance de la nature ». C'est là un point de vue en quelque sorte utilitaire, qui ne touche point à la portée philosophique des déductions fondées sur des définitions ne répondant pas aux objets réels, et Stuart Mill reconnaît que les conclusions qu'on pourrait tirer de ces hypothèses arbitraires « seraient un exercice intellectuel d'une haute utilité » *.

(i) Voir cette discussion dans le Système de logique déductire et inductive, trad. Peisse. 1. 1, p. 259 et 260.

La question de l'utilité pratiijue de la géométrie générale est en dehors de notre sujet. Rappelons, toutefois, que M. Poincaré a ti-iomphé sans peine, grâce à elle, d'une difficulté rencontrée par lui dans cette théorie des fonctions fuchsiennes qui constitue l'un de ses plus heaux titres de gloire.

Sii^ïi