CHAPITRE III

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La théorie de \ intuition, telle que l'a présentée Delbœuf dans ses Prolégomènes, constitue un moyen ingénieux de prendre pour point de départ les données sensorielles, tout en sauvegardant les droits de la raison dans rétablissement de la géométrie. Nous avons d'abord une intuition de la droite et du plan, puis nous cherchons un attribut qui réponde à cette intuition et permette de la remplacer par un concept K Rien de plus légitime, sans doute, que de procéder ainsi ; mais il est clair qu'en ce faisant on écarte tout concept contraire aux intuitions su^^érées par nos impressions sensorielles. Or, écarter de tels concepts, ce n'est aucunement en démontrer l'illégitimité. Aussi Delbœuf s'efforce-t-il de démontrer que la géométrie générale a ses postulats, analogues à ceux d'Euclide ; mais, pour le faire, il commet, selon nous, une très grave erreur sur la nature des définitions fondamentales. D'après lui, la définition ordinaire du plan (surface telle que la droite passant par deux quelconques de ses points y est contenue tout entière, ou surface sur laquelle une droite peut se déplacer dans tous les sens) étant surabondante, cette définition dissimule un postulat, celui de la possibilité de l'existence de cet objet. Or, ajoute-t-il, la définition de la surface identique à ellemême postule bien plus, à savoir la possibilité d'une surface sur laquelle toute figure puisse être déplacée sans

déformation -.

Nous avons reconnu déjà que la définition des surfaces identiques est surabondante ; mais ce défaut n'introduit aucun postulat, puisque poser une définition fondamentale, ce n'est point affirmer la possibilité de son objet, cette définition devant être soumise à l'épreuve des déductions s' appuyant sur elle, et sa légitimité ne devant résulter que de Tabsence de contradiction dans ces déductions.

(1) P. 175. Delbœuf est resté fidèle à son ancienne conception (voir Revup philosophique d'août 1894, p. 129). (-2) Revue philosophique y août 1894, p. 132.

HISTOIRE ET POLÉMIQUES REL.iTIVES A LA GÉOMÉTRIE 87

Ce n'est donc, à vrai dire, que par une série de malentendus que Delbœuf peut se maintenir en opposition avec la géométrie générale. Il n'en est pas de même d'un adversaire véritable de la géométrie générale, qui s'appuie également sur V intuition,, mais autrement comprise.

L'abbé de Broglie a publié dans les Annales de philosophie chrétienne une étude dont on ne saurait trop recommander l'examen approfondi ^ Il s'est bien laissé aller à formuler certaines critiques que l'on pourrait dire à côté ^ ; mais, dans l'ensemble, il a soutenu une thèse bien cohérente, sur laquelle nous devons insister un peu. A la base de la géométrie, il place l'intuition, chargée de nous faire voir la possibilité des ligne et surface prises comme point de départ de la géométrie. '( L'intuition précède donc la définition. L'intuition découvre l'objet..., le perçoit tel qu'il est. La définition vient ensuite ; elle exprime par des paroles, de son mieux, les caractères de l'objet perçu ». A cette occasion, l'abbé de Broglie remarque très justement que les nouveaux géomètres ont recours à l'intuition, qui leur livre

(1) Avril et juillet 1890, pp. 5 et 840.

(2) Tel est le reproche, renouvelé de Stallo {La mntiôre et ta phjf signe moderne, p. 167), de faire de l'espace une chose rc'elle. « Des espaces distincts, dit l'abbé de Broglie. espaces idéaux qui se refusent à recevoir des lignes et des figures idéales, qui se comportent à l'égard de ces figures comme s'ils étaient pleins et elles solides, qu'est-ce que cela signifie ? » Un espace n'étant, pour nous, que lasubstantialisation verbale des relalions spatiales compatibles entre elles, dire qu'une figure ne peut entrer dans un espace, c'est dire qu'elle constitue un système de relations incompatible avec un système plus général, décoré du nom d'espace.

Il nous semble, du reste, que, en dehors de toute thèse métaphysique sur la nature de l'espace, il n'y a rien de choquant à dire qu'un triangle sphérique ne peut entrer sur une sphère idéale dont le rayon diffère de celui de la sphère à laquelle appartient ce triangle également idéal ; si un géomètre euclidien peut parler ainsi à l'occasion de deux espaces k deux dimensions, pourquoi ne parlerait-on pas de même, en géométrie générale, à l'occasion de deux espaces k trois dimensions?