CHAPITRE III

n'en est pas moins vrai que tout carré est positif ». L'objection ne laisse pas d'être spécieuse ; mais elle n'est que cela. Sans insister sur ce que la substitution de la notion de nombres complexes à celle d'imaginaires a singulièrement atténué le caractère paradoxal que présentait celle-ci, nous ferons remarquer que, à s'en tenir à l'ancienne notion, les imaginaires sont des écritures purement matérielles, auxquelles on convient d'appliquer mécaniquement les règles de calcul démontrées pour les quantités réelles, en sorte que ces règles servent de définitions aux opérations sur les quantités imaginaires. Dans ces conditions, il ne saurait v avoir de raisonnement, et tout ce qu'il faut pour ne pas être arrêté dans ces opérations, c'est de n'avoir introduit aucune contradiction dans les règles de calcul ; il ne peut, du reste, y en avoir, puisque ce sont les règles démontrées pour les quantités réelles. Tout autre est le cas de la géométrie générale^ car elle raisonne sur des idées, si bien qu'elle forme une suite de déductions régulières, au dire de l'abbé de Broglie ; cette suite tire d'elle-même sa valeur, tandis que la série d'écritures qualifiées d'égalités entre imaginaires n'a d'autre source que les règles relatives aux quantités réelles. La géométrie générale apparaît donc avec une valeur propre, qui ne s'appuie pas sur la géométrie euclidienne, simple cas particulier, tandis que, si les quantité réelles sont aussi des cas particuliers des imaginaires, en un certain sens, elles servent de base essentielle à celles-ci. En un mot, les raisonnements autonomes de la géométrie générale éprouvent la valeur de sa base, tandis que les opérations mécaniques sur les imaginaires ne vérifient que l'absence de contradiction dans les règles de calcul démontrées pour les quantités réelles.

Ampère, parlant de l'indémontrabilité du postulat, disait, aussi lui, que sa certitude résulte de l'intuition ; mais il y ajoutait un qualificatif caractéristique, disant

qu'il s'agit là d'une intuition synthétique \ en sorte que M. Rabier, qui reconnaît aux axiomes propres ou postulats le caractère synthétique et les fait dériver de l'intuition, n'a fait que développer la pensée ainsi indiquée. Suivant de très près Renouvier, il se sépare de lui en ce qu'il enseigne que les propositions synthétiques ne peuvent avoir d'autre fondement que l'expérience, qu'elle soit externe et sensible, ou interne et d'intuition, tandis que l'illustre chef du néocriticisme invoque les jugements synthétiques a priori de Kant contre la géométrie générale. Ce qu'il y a d'essentiel dans la critique de Renouvier, c'est l'idée que tous les postulats (car, pour lui, il y en a beaucoup) reposent sur une synthèse de deux catégories différentes, la figure et la quantité, laquelle ne pourrait qu'être posée a priori, à titre à' impératif géométrique, analogue à l'impératif catégorique qui sert de fondement à la morale. Nous ne saurions nous arrêter à chacun des postulats qu'il énonce ; mais nous signalerons la forme imprévue qu'il donne à celui des parallèles. Il en fait le postulat de la rotation ou du tour de r horizon : la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe fermé est égale à quatre droits ou, en d'autres termes, « la révolution périmétrique accomplie suivant une ligne polygonale fermée fournit la même mesure angulaire que s'il s'agissait du pivotement sur un point, sans aucun périmètre ». Assurément, c'est bien là un équivalent du postulatum d'Euclide, mais un équivalent imprévu, en ce sens qu'il est bien moins intuitif.

Dire que Renouvier reconnaît l'indémontrabifité du postulatum, c'est dire qu'il admet l'absence de contradiction dans les développements actuels et futurs de la géométrie non euclidienne, et dès lors se pose la question de savoir comment il peut écarter la valeur de cette construction logique vraiment monumentale. Il le fait par une distinction entre Fabsurde et le contradic-

(1) fM Philosophie des deux Ampère, p. 278.

toire. Faute d'avoir, comme il le dit, suffisamment étudié la logique, nous avouons ne pas saisir la distinction, si ce n'est que le terme « absurde » présente une moindre précision et peut, d'après l'usage, s'appliquer, dans les sciences de fait, à ce qui est en désaccord avec une vérité d'expérience qu'on juge bien établie. Mais, dans une science apriorique, absurde et contradictoire nous paraissent rigoureusement synonymes : c'est ainsi que les démonstrations par V absurde reposent sur une contradiction.

Au fond, il faut toujours en revenir, sous une forme plus ou moins dissimulée, à invoquer les données sensitives. Répondant, dans la Jievue 'philosophique \ à une première version de la Philosophie de la règle et du compas, parue dans la Critique philosophique \ nous reconnaissions, comme nous l'avons fait ci-dessus, l'impossibilité où nous serions d'établir une géométrie si nous ne possédions pas d'images spatiales ; puis, nous ajoutions : « Ce qui nous importe, ce n'est point de ne rien devoir aux notions dues à la forme réelle de notre sensibilité, car nous n'avons jamais contesté qu'elles nous sont indispensables pour la formation d'une géométrie quelconque \ mais de reconnaître que cette forme pourrait être autre qu'elle n'est, tout en conservant des lois rationnelles générales ne relevant que du principe de contradiction ».

Voici ce que Renouvier nous répondit : a Si la forme réelle de la sensibilité et les notions qui s'y rattachent sont indispensables pour la constitution d'une géométrie quelconque, comment admettre l'établissement logique

(1) Aoui 1890. La géométrie générale et les jugements ,sgnf/œ'tiques a priori.

(2) Novembre 1889, p. 337.

(3) En relisant celte phrase isolée, nous nous sommes aperçu qu'on peut la mal intei-préter : pour établir une géométrie rpielcon-pie, on a besoin dun svsiè.nc crimn-es. confnrmi' ou non au nôtre ; mais il en faut un absolument, car à son défaut on ne ferait que de l'analyse.

d'une géométrie qui serait un système de relations étranger à l'espace ordinaire, indépendant du « postulat des trois dimensions », et dont il n'y a pas d'image ? Peut-il ne point importer de ne rien devoir aux notions susdites, alors que ne leur rien devoir est justement ce qu'il faudrait et ce qui ne se peut, pour en établir d'autres qui leur sont opposées ? Mais la forme de la sensibilité pourrait être autre qu'elle est ; je le veux bien, c'est une possibilité métaphysique. Dans ce cas, on ne serait pas forcé de supposer la forme d'à présent pour combattre les notions qui lui sont « dues » ! Et cette autre forme pourrait « conserver des lois rationnelles générales », c'est encore possible ; ce qui ne l'est pas, c'est que ces lois pussent, comme dit M. Lechalas, « ne relever que du principe de contradiction ». Ce principe n'a pas la vertu de fournir des propositions premières, attendu que son application en suppose toujours une ou plusieurs auxquelles on se soit interdit de contredire ' ».

Il semble que Renouvier a interprété notre expression incorrecte dans le sens inexact signalé à la note 3 de la page précédente ; mais il y a plus, et cela nous révèle un nouveau défaut de notre rédaction, puisque notre pensée ne paraît pas avoir été saisie sur un second point : r « autre forme » de sensibilité que nous supposons fournirait les propriétés permettant de formuler les détinitions fondamentales de la géométrie, et c'est en partant de ces définitions que l'application des lois rationnelles, indépendantes de la forme particulière de la sensibilité, donnerait le développement de la géométrie correspondant à cette forme. Reste l'aveu de Renouvier, que l'existence d'autres formes de sensibilité est une possibilité métaphysique, et cet aveu nous paraît capital, car il semble qu'il nous donne cause gagnée \

(1) L'Année philosophique, 2e année, p. 63.

(2) Un autre aveu précieux à recueillir concerne la qualification

^^sîââ.