CHAPITRE llî

En particulier, il ne permet guère de contester que le nombre des dimensions n'a rien de nécessaire ; or, pour qui a admis ce point et en a bien compris la portée, les principes de la géométrie générale ne doivent soulever aucune objection fondamentale, car de la possibilité d'un espace à quatre dimensions découle immédiatement celle de plusieurs espaces, ou plutôt d'une intinité d'espaces à trois dimensions, différant entre eux soit par leurs natures, soit seulement par leurs situations dans l'espace d'ordre supérieur '.

Or, nous ne voyons vraiment pas ce qu'on peut opposer à la possibilité métaphysique, selon l'expression de RenoQvier, d'un système de formes sensibles à quatre variables. Au début de sa vie philosophique, Kant l'avait bien compris : mêlant d'une façon contestable la loi de l'attraction à celle des propriétés de l'espace et du nombre de ses dimensions, il arrivait à concevoir divers espaces possibles, dont la science « serait, sans doute, la plus haute géométrie qu'un entendement lini puisse concevoir » ".

iVimnpratip (/eométrUpies donnée aux postulats. Uenouvier, pour la iuslitiei-, dit (lue ce « sont les notions nécessaires à l'esprit pour constituer une géométrie (?), bien plus pour juger les ohjHs extérieurs et réqler les arts de la vie en conséquence » {Deuxtenie année philosophique, p. 61). Ajoutons (pie M. PiUon s'est montre fidèle aux inspirations de ce maître, dont il est le disciple indépendant et original, le jour où il a dit (pie la notion de l'espacée et de ses trois dimensions doit être tenue pour contingente, ([u elle dépend des lois de notre sensibilité et ([ue ces lois ne sont pas nécessaires comme celles de la raison : « en d'autres ternies, plus précis dit-il, la sensibilité humaine peut être conçue - nous ne disons' pas imaginée - régie par d'autres lois, (constituée sur un autre plan » (()uinzième Année philosophique, p. 101).

(1) L'abbé (le Broglie a bien saisi la liaison de ces deux notions ; mais, pour lui, « cette analogie vaine (entre les diverses surlaces et les divers espaces à trois dimensions) est comme une sorte de plan incliné sophisti(iue conduisant au pays des chimères les esprits inattenlifs et amis du paradoxe ».

(2) Pensées sur la véritable mesure des forces vives (voir 1 ouvrage de M. Nolen sur La critique de Kant). On ne saurait vraiment trop déplorer la déchéance subie par la pensée du philosophe

Ainsi que nous l'avons dit précédemment, Wallis avait montré qu'on peut postuler indifféremment le principe des parallèles ou l'existence de triangles semblables ; puis Laplace généralisa cette dernière proposition en en faisant le postulat de la possibilité des ligures semblables ou de la relativité des dimensions \ Delbœuf a repris cette idée dans ses Prolégomènes philosophiques de la géométrie et a fait admirablement ressortir cette caractéristique de la géométrie classique d'être la seule où l'on puisse majorer ou minorer une figure quelconque sans en modifier la forme, c'est-à-dire où celle-ci soit indépendante de la grandeur -. Cette indépendance de la forme et de la grandeur apparaît au philosophe belge comme une véritable exigence de la raison, en sorte que

• le lÛKnigsberg, (juaiid de cette pensée si large on rapproche ses (•oncei)lions de lEsthélique transcendantale, où, pour déterminer les caractères de la l'orme a priori de notre sensibilité, il se borne à reproduire, sans aucune critique, les caractères expérimentaux de l'espace, en y ajoutant cette sorte de nécessité que lui conlere l'imagination : « On ne peut jamais concevoir, dit-il, qu'il n'y ait aucun espace, quoiqu'on puisse fort bien penser qu'aucun objet n'y est contenu... On ne peut se représenter qu'un seul espace ; et, quand on parle de plusieurs espaces, on entend seulement par là les parties d'un seul et même espace » {Critique de la Raison pure, Esth. transe, sect. I, de l'Espace, § 2). Après une telle déclaration, on n'est pas surpris de voir citer, comme exemple du caractère apodictique des propositions géométriques, celle d'après laquelle (t l'espace n'a que trois dimensions » {Idem, % 8).

(4) Dans une note à son Exposition du système du monde (liv. V, chap. V), Laplace s'exprime ainsi : a Les tentatives des géomètres pour démontrer le postulatum d'Euclide sur les parallèles ont été jusqu'à présent inutiles. Cependant personne ne révo(4ue en doute ce postulatum et les théorèmes qu'Euclide en a déduits. La perception de l'étendue renJerme donc une propriété spéciale, évidente par elle-même, et sans laquelle on ne peut rigoureusement établir les propriétés des parallèles. L'idée d'une étendue limitée, par exemple du cercle, ne contient rien qui dépende de sa grandeur absolue. Mais, si nous diminuons par la pensée son rayon, nous sommes portés invinciblement à diminuer, dans le même rapport, sa circonférence et les côtés de toutes les figures inscrites. Celte proportionnalité me paraît être un postulatum bien plus naturel que celui d'Euclide ».

(2) Prolégomènes, pp. 129-132.

CHAtlTKK lil

la géométrie de l'espace unique ' qui satisfait à cette exigence aurait une valeur absolue, indépendante de tout

postulat ^. . .

Mais non seulement cet éminent penseur a amsi ramené à un principe hautement philosophique un postulat qui n'était qu'un théorème de géométrie quelconque ; mais, faisant œuvre de géomètre, il a montre comment pourrait effectivement s'établir la science fondée sur cette conception. Partant de cette idée que, selon une remarque de Hegel, la ligne droite et le plan sont d abord des mtmtions ou représenialion.s, qu'il s'agit de remplacer par des conee,jls rendant possible l'édification de la théorie, il arrive, après une série de considérations ou il nous serait difficile de le suivre, en raison des continuelles réserves que nécessiterait la constante négation implicite de la géométrie générale, à poser les dehmtions

suivantes ' :

« Le plan est une surface homoçiène;

« La droite est une ligne homogène ;

« c'est-à-dire qu'une portion de plan majorée engen- « die le même plan ; qu'une portion de droite majorée « reproduit la droite » '.

(1) 11 esl clair que le nombre des dimensions est éli-angei- à la

'^'S'ccl argument en laveur de la géon.étrie euclidienne peul reSi, bien deslocmes. Ces. h.i ..u'on .•elrouve d- '- ^-- ; rations sur le Postidatum dEucltde, dues a M laiij, ou ion To c -il s ra I absurde d'arfirmer que la connaissance d un non rrè\ su lil seule k délerminer une longueur, la.l qui se produ .a,l dans un pace non euclidien, où il suflil de donner une Irac .on d'ange dit. pour déterminer un triangle équilaléral, dont lo nrkmhpp / Dorinct (le tracer le côté. .

(a) p. 180 Del,.œul- a repris l'exposé de la géométrie su.va. ses principes dans la Reçue pldloso/Mque (le co.nmencen.ont se Irouvc dans le numéro d'avril 1895). ,

a) Ainsi que l'indique Uelbœuf dans un ouvrage posierieui. Ueb rweg a^ lait remarquer que Leibni. (Œuvres mM. ïubli^es par Gerhard!, Halle, 1858, 2e part ^^ ^^'^ ^^^'^^^ avait donné une définition équivalente : Recta et l}^'^^^ 2' 'i pars qiuevis est similis loti (voir Essai d'une logique saenti

Préoccupé d'une théorie qui lui est chère, d après laquelle toute définition doit être génétique, Delbœuf cherche à conférer ce caractère à ces définitions, qui ne sont qu'énonciatives d'une propriété. L'infructueux effort qu'il fait dans ce but mérite d'appeler notre attention, car il l'amène à poser, sans s'en douter, le principe dont découlera toute la géométrie générale. « Gomment « engendrons-nous l'espace ? dit-il. Nous prenons le plus « petit espace possible, ce qui ne peut pas devenir moin- « dre, la limite extrême de la contraction de l'espace ; « puis, par le procès inverse, nous dilatons, nous ampli- « fions cet espace. . . Nous pouvons donc regarder l'homo- « généité comme étant le caractère géivHique de l'espace, « du plan, de la droite. L'espace, le plan, la droite sont « des déterminations qui s'engendrent d'une façon « homogène. Qu'on prenne un solide, une surface, une «• ligne au moment où ils naissent, et que l'on continue « leur mode de génération, le solide deviendra l'espace « infini ; la surface, le plan infini ; la ligne, la droite « infinie. »

Il n'est guère besoin d'insister sur ce que ces définitions ne sont génétiques que dans la forme et ne donnent point les moyens d'engendrer pratiquement leurs objets, de les tracer, comme dit Delbœuf lui-même en développant le sens du mot c< génétique » \ Comment, en effet, se donner le plus petit espace, la plus petite surface, la plus petite ligne possibles, alors que tout espace, toute surface, toute ligne déterminés sont plus grands qu'une infinité d'autres?

Ces définitions ne sont donc point génétiques, au sens vrai du mot, tel que Delbœuf lui-même l'a précisé ; mais ce n'est pas là un défaut pour les définitions fondamentales, puisqu'elles ne peuvent être qu'énonciatives d'une

Mue, p. 225, note 1). Mais il y a loin d'une définition donnée en passant à une théorie régulière, et la part de Delbœuf reste belle. (1) P. 94.