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propriété caractéristique. A ce dernier point de vue, elles sont excellentes, bien qu'on leur ait fait un singulier reproche, que nous ne songerions point à mentionner si nous ne Tavions vu renouveler par un géomètre philosophe dont nous aurions attendu plus de clairvoyance. Ce reproche consiste à dire que la propriété énoncée n'est pas suffisamment caractéristique, car la définition de la droite, par exemple, conviendrait à tous les cercles. Il est vrai qu'un arc de cercle majoré donne un autre arc de cercle ; mais ce nouvel arc de cercle ne reproduit point le premier, qui ne peut être superposé à aucune de ses

parties.

Il est un autre reproche beaucoup plus sérieux qu'on pourrait formuler contre les définitions que nous discutons : pour majorer une figure, il faut savoir mesurer les lignes et les angles, et la même connaissance est nécessaire pour vérifier si une figure n'en est qu'une autre majorée, d'où il suit que ces définitions posées sans préambule manquent d'une base indispensable. Nous avons vu, dans le chapitre précédent, comment peuvent être résolues ces difficultés : quelque particulière que soit une géométrie, elle ne saurait reposer que sur la critique des notions fondamentales de toute géométrie.

Quoi qu il en soit, Delbœuf s'est efforcé de montrer, souvent avec beaucoup de bonheur, que, en prenant ces définitions pour point de départ, la géométrie s'établit sans postulat ; sans entrer dans une discussion détaillée, nous dirons simplement que la possibiUté d'écarter ainsi toute proposition non démontrée nous paraît certaine, en vertu même de la géométrie générale, dans laquelle aucune ligne, aucune surface, aucun espace, en dehors des droite, plan et espace euclidiens, ne jouissent de \ homogénéité telle que la définit le professeur belge.

Aucun espace, venons-nous de dire ; c'est que, en effet, par un coup de fortune comme il n'en arrive qu'aux esprits vraiment géniaux, l'illustre professeur de l'Uni-

aiSTOIRE ET POLÉMIQUES RELATIVES A LA GÉOMÉTRIE 99

versité de Liège a mis le doigt (oh ! sans s'en douter et sans l'avoir jamais avoué) sur l'idée fondamentale et maîtresse de la géométrie générale.

Ici apparaît bien la supériorité de sa pensée sur celle d'un grand philosophe, Renouvier, qui nous paraît avoir été mal inspiré sur ce sujet de la géométrie. Pour lui, le volume est la synthèse de l'interpusition des points possibles dans un ordre quelconque, entre des systèmes de points régis par la loi de surface *, attendu que l'intervalle se remplirait sans aucune loi, à la différence de ce qui a lieu lorsqu'une surface rempHt l'intervalle entre deux étendues linéaires. Poser une telle conception à la base de la géométrie, c'est poser en dogme qu'un seul espace est concevable ; comme d'ailleurs on ne l'a point défini, on s'est imposé la nécessité de remplacer, à un instant ou à un autre, la définition manquante par un postulat dont on méconnaît le caractère et qu'on décore du beau nom (ï iïnpératif, ne pouvant, en présence des résistances qu'il rencontre, que « faire de tristes réflexions sur la difficulté que les hommes trouvent à s'entendre dans l'exercice de la raison » -.

Combien mieux inspiré a été Delbœuf quand il a donné une définition de l'espace comme il en donnait une du plan, toutes deux aussi indispensables à l'édification d'une géométrie. Sa définition d'ailleurs nous paraît excellente en tant que définition de l'espace euclidien, car elle comprend tout dans une notion d'énonciation brève et de facile compréhension, répondant admirablement à notre notion spontanée d'espace.

Nous savons bien que cette définition est surabondante et justifie, à ce point de vue, le dédain que professent pour eUe certains mathématiciens éminents, comme M. Mansion. Il est clair qu'il y aura toujours deux éco-

(1) Traité de Logique générale et de Logique formelle, . 2« édit., t. I, p. 295.

i^l) Même ouvrage, t. II, p. 93.

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CHANTRE m

les, celle des logiciens qui, s'ils veulent être logiques, marcheront sur les traces de M. Hilbert et de M. Pieri, puis celle des intuitifs et des philosophes qui, moins soucieux de la perfection logique (nous ne disons pas de la rigueur), recherchent volontiers une notion générale qui synthétise en elle tout ce que les logiciens éparpUlent en une série de petits postulats qui font songer à un jeu de casse-tête chinois. L'idéal serait que cette notion générale ne contînt rien de surabondant; mais, à défaut de cet idéal, la seconde classe d'esprits sait se résigner à la surabondance.

Après avoir ainsi rendu pleine et éclatante justice à la théorie de l'espace homogène, il nous reste à en faire la critique quand elle prétend s'imposer à l'exclusion de tout autre espace. Assurément, la conception de l'indépendance de la forme et de la grandeur est séduisante, et on conçoit qu'on se laisse aller à la proclamer comme une exigence de la raison; mais encore faut-il bien se rendre compte que le champ de son application n'est pas universel : ainsi le plus euclidien des géomètres est bien obligé de renoncer à l'appliquer sur la sphère et en général sur toute surface autre que le plan. Dès lors, pourquoi refuserait-il d'accepter les espaces sphériques à trois dimensions, qui sont absolument assimilables aux sphères et pourraient du reste être inclus dans un espace euclidien à quatre dimensions où l'indépendance de la forme et de la grandeur régnerait aussi bien qu'elle le fait dans l'espace homogène à trois dimensions?

Restent les espaces hypersphériques qui sont plus embarrassants parce qu'on ne saurait les inclure dans un espace homogène. Là le champ de l'homogénéité n'est jamais que partiel, confiné qu'il est, semble-t-il, dans les horisphères et horiespaces que peuvent inclure les espaces et étendues hypersphériques, et cependant ces limites, réelles à un certain point de vue, peuvent s'éva- ' nouir si l'on veut. Sur deux hypersphères de paramètres différents, comme sur deux sphères inégales, nous pou-

vons tracer deux séries de figures semblables, et de même, dans deux espaces hypersphériques de paramètres différents, inclus dans une même étendue hypersphérique, sont contenues deux séries de surfaces semblables. Il ne nous semble pas qu'on puisse réclamer davantage, puisque, quel que soit l'objet géométrique donné, nous pourrons toujours le majorer ou le minorer suivant telle proportion qu'on voudra : pourquoi exiger que ce soit dans le même espace à trois dimensions ?

En d'autres termes, dans un espace homogène quelconque, on peut majorer toutes les figures qui y sont contenues, tandis que, pour majorer toutes les figures contenues dans un espace non homogène à n dimensions, il faut un espace à plus de n dimensions : si l'espace donné est isogène ou si, sans être isogène, il peut entrer dans un espace homogène kn-\-\ dimensions, ce nombre de dimensions suffit; dans le cas contraire, un espace à n + 2 dimensions est nécessaire. On voit qu'en tout cas le principe d'indépendance de la forme et de la grandeur est sauf, puisqu'il est toujours possible de majorer une figure quelconque en recourant à un espace approprié, même quand cette figure ne peut entrer dans aucun espace homogène, quel que soit le nombre de ses dimensions. A titre d'objection contre la géométrie générale, la conception de Delbœuf est donc sans portée.