POLÉMIQUES

Nous réunissons sous ce titre de polémiques quelques discussions entre partisans de la géométrie générale, et ici nous devons prier le lecteur d'excuser le caractère personnel que va prendre notre exposé. Nos contradicteurs, MM. Mansion et Barbarin, et aussi M. Russell,

ont une valeur telle qu'il paraîtra outrecuidant d'entrer en contestation avec eux, et nous avons bien conscience de ce qu'il y a, pour ainsi dire, de malséant de notre part à contester la portée de leurs arguments contre des thèses en faveur desquelles nous ne saurions invoquer aucune autorité comparable ; mais n'est-ce pas une exigence de toute discussion scientifique ou philosophique que le plus chétif, quand il croit disposer de bonnes raisons, doive affronter les plus hautes autorités ?

Notre conception fondamentale, on l'a vu, réunit intimement dans une synthèse unique les trois géométries d'Euchde. de Lobatchefsky et de Riemann ; elle est toute pénétrée de la distinction des propriétés intrinsèques et des propriétés relatives des êtres géométriques et se refuse à distinguer en soi ce qui jouit de propriétés intrinsèques identiques. C'est ainsi que, les sphères et plans de Riemann ayant exactement la même géométrie propre que les sphères d'Euclide, nous étions porté à les identifier ; puis, quand nous avons eu montré que la même surface donnée au sein d'un espace à quatre dimensions, comme intersection d'un espace euclidien et d'un espace sphérique à trois dimensions convenablement choisi, en même temps qu'elle est une sphère euclidienne, telle que nous la connaissons, si on l'envisage dans le premier de ces espaces, jouit dans l'autre de toutes les propriétés d'un plan de Riemann, retournabilité, dualité de centres, etc., nous avons affirmé que sphère euclidienne et plan de Riemann sont une seule et même chose, envisagée dans des milieux différents, que plus généralement sphères euclidiennes, sphères riemanniennes et, pour une raison toute semblable, sphères lobatchefskiennes sont identiques entre elles, le cas particuHer des plans de Riemann correspondant à celui où la sphère considérée est grande sphère de l'espace sphérique à trois dimensions. De même encore, l'horisphère des espaces hypersphériques ne se distingue pas, en soi, du plan Buclidien.

Tout autre est la conception des géométries non euclidiennes, telle qu'elle est naturellement sortie de sa genèse historique. Etablie pour faire connaître les propriétés des figures que peut recevoir un espace considéré comme essentiellement unique et en dehors duquel on ne concevait pas qu'il pût y avoir d'autres figures, la géométrie euclidienne constituait une science pour ainsi dire fermée, où rien ne préparait à la généralisation des notions sur lesquelles elle repose. Plus tard, lorsque, frappé de l'impossibiHté de démontrer le postttlatum d'Euclide, on songea à faire reposer d'autres géométries sur des hypothèses différentes, on prit modèle sur ce qu'avaient fait les précédents géomètres, et l'on édifia des systèmes différents du premier, mais non moins fermés que lui.

Il résulte de là que les néo-géomètres ont été habitués à concevoir les trois géométries comme absolument distinctes, pouvant présenter sans doute des ressemblances singulières, remarquées dès le début, mais n'en ayant pas moins pour objets des êtres essentiellement différents.

Comme d'ailleurs la géométrie classique était à trois dimensions, les nouvelles, édifiées à son image et ressemblance, furent de même, et la plupart des néo-géomètres se montrèrent hostiles à l'introduction d'une quatrième dimension. Mais, du moment où on écarte celle-ci, les espaces à trois dimensions sont absolument isolés les uns des autres, et aucune comparaison ne saurait être établie entre les dimensions de figures appartenant à des espaces différents, en sorte que le paramètre qui devrait caractériser chaque espace et qui est le carré d'un certain segment de géodésique de cet espace, ne caractérise rien, puisqu'on est dans l'impossibilité de comparer les longueurs appartenant à des espaces différents. On ne saurait donc distinguer que trois espaces, caractérisés par le signe du paramètre ou par sa valeur infinie, et on ne saurait attacher aucun

sens à la distinction de plusieurs espaces à paramètres de même signe mais de valeurs différentes.

Nous avons formulé cette réflexion dans une note insérée aux Annales de la Société scientifique de Bruxelles (année 1895-96), et M. Mansion a essayé de la réfuter dans le même recueil :

« On peut concevoir, dit-il, des espaces de Riemann et de Lobatchefsky de divers paramètres de la manière suivante : si l'on connaît A, longueur, rapportée à une certaine unité, du côté d'un triangle rectangle isoscèle déterminé, dont on ignore s'il est euclidien, riemannien ou lobatchefskien, on pourra supposer, avant toute mesure, que la valeur a de l'hypoténuse a n'importe quelle valeur, égale, inférieure ou supérieure à b\2. Cela implique la possibilité de valeurs en nombre infini pour r et /, mais non la possibilité de comparer des longueurs dans deux espaces différents » *.

Cela signifie qu'on conçoit la possibilité d'espaces différents, mais qu'on est dans l'impossibilité de comparer les longueurs qui les caractérisent : on ne peut donc ramener à une même unité les paramètres des divers espaces, ce qui signifie que la distinction conçue ne peut se traduire dans les formules. C'est, dirons-nous, une aspiration à la quatrième dimension, laquelle seule permet de donner une portée effective à une conception supposant implicitement cette quatrième dimension.

M. Russell a fort bien vu que, s'en tenant aux espaces à trois dimensions, il ne peut les caractériser par des

constantes:

« Dans ces espaces (les espaces non euclidiens), dit-il, la constante spatiale est l'unité ultime, le terme fixe de toute comparaison quantitative; elle est donc ellemême, en tant qu'on la compare à d'autres constantes

(1) P. 182, note, r et / sont les paramètres linéaires riemannien et lobatchefskien, c'est-à-dire yjk et V^ d'après les notations que nous avons adoptées.

spatiales, privée de grandeur, puisqu'il n'y a aucune grandeur donnée indépendamment à laquelle on puisse la comparer. La constante spatiale, il est vrai, est une grandeur, en tant que comparée à des grandeurs empiriquement données dans un espace actuel ; si notre espace est non euclidien, nous pouvons, par exemple, comparer la constante spatiale avec le diamètre de l'orbite terrestre. La constante spatiale mesurée par cette comparaison, peut avoir une certaine grandeur. Mais c'est seulement par rapport aux grandeurs contenues dans son propre espace que la constante spatiale a une grandeur, et non par rapport à d'autres constantes spatiales. On n'a donc pas une série de constantes spatiales plus grandes et plus petites, puisque différentes constantes spatiales appartiennent à différents espaces dont un seul peut être actuel et dont on ne peut, par suite, comparer

deux » ^

Nous croyons qu'on peut dire la question jugée aujourd'hui : elle a cet intérêt de montrer qu'une conception courante pendant longtemps chez tous les non-euclidiens postule impérieusement la considération d'une quatrième dimension : on comprendra que nous ayons insisté sur ce point, étant donné le rôle fondamental joué par cette considération dans notre théorie de la géométrie générale.

Arrivons maintenant au point essentiel, celui de l'identité du plan de Riemann avec une sphère d'EucUde, de l'horicycle et de l'horisphère de Lobatchefsky avec la droite et le plan d'Euclide et, plus généralement, de toutes surfaces isogènes de même paramètre dans tous les espaces à trois dimensions où elles peuvent se rencontrer. Le point de départ de cette conception se trouve dans Tœuvre de Delbœuf, qui malheureusement l'a compro-

(1) Essai sur tes fondements de ta géométrie, traduction Cadenat et Gouturat, no 79.

HISTOIRE ET POLÉMIQUES RELATIVES A LA GÉOMÉTRIE lOS

sens à la distinction de plusieurs espaces à paramètres de même signe mais de valeurs différentes.

Nous avons formulé cette réflexion dans une note insérée aux Annales de la Société scientifigiœ de Bruxelles (année 1895-96), et M. Mansion a essayé de la réfuter dans le même recueil :

« On peut concevoir, dit-il, des espaces de Riemann et de Lobatchefsky de divers paramètres de la manière suivante : si Ton connaît A, longueur, rapportée à une certaine unité, du côté d'un triangle rectangle isoscèle déterminé, dont on ignore s'il est euclidien, riemannien ou lobatchefskien, on pourra supposer, avant toute mesure, que la valeur a de l'hypoténuse a n'importe quelle valeur, égale, inférieure ou supérieure à b\i2. Cela implique la possibilité de valeurs en nombre infini pour r et /, mais non la possibilité de comparer des longueurs dans deux espaces différents » ^

Cela signifie qu'on conçoit la possibilité d'espaces différents, mais qu'on est dans l'impossibilité de comparer les longueurs qui les caractérisent : on ne peut donc ramener à une même unité les paramètres des divers espaces, ce qui signifie que la distinction conçue ne peut se traduire dans les formules. C'est, dirons-nous, une aspiration à la quatrième dimension, laquelle seule permet de donner une portée effective à une conception supposant implicitement cette quatrième dimension.

M. Russell a fort bien vu que, s'en tenant aux espaces à trois dimensions, il ne peut les caractériser par des

constantes:

« Dans ces espaces (les espaces non euclidiens), dit-il, la constante spatiale est l'unité ultime, le terme fixe de toute comparaison quantitative; elle est donc ellemême, en tant qu'on la compare à d'autres constantes

(1) P. 182, note, r et / sont les paramètres linéaires riemannien et lobatchefskien, c'est-à-dire y/k et y/F, d'après les notations que nous avons adoptées.

spatiales, privée de grandeur, puisqu'il n'y a aucune grandeur donnée indépendamment à laquelle on puisse la comparer. La constante spatiale, il est vrai, est une grandeur, en tant que comparée à des grandeurs empiriquement données dans un espace actuel ; si notre espace est non euclidien, nous pouvons, par exemple, comparer la constante spatiale avec le diamètre de l'orbite terrestre. La constante spatiale mesurée par cette comparaison, peut avoir une certaine grandeur. Mais c'est seulement par rapport aux grandeurs contenues dans son propre espace que la constante spatiale a une grandeur, et non par rapport à d'autres constantes spatiales. On n'a donc pas une série de constantes spatiales plus grandes et plus petites, puisque différentes constantes spatiales appartiennent à différents espaces dont un seul peut être actuel et dont on ne peut, par suite, comparer

deux » ^

Nous croyons qu'on peut dire la question jugée aujourd'hui : elle a cet intérêt de montrer qu'une conception courante pendant longtemps chez tous les non-euclidiens postule impérieusement la considération d'une quatrième dimension : on comprendra que nous ayons insisté sur ce point, étant donné le rôle fondamental joué par cette considération dans notre théorie de la géométrie générale.

Arrivons maintenant au point essentiel, celui de l'identité du plan de Riemann avec une sphère d'Euclide, de fhoricycle et de l'horisphère de Lobatchefsky avec la droite et le plan d'Euclide et, plus généralement, de toutes surfaces isogènes de même paramètre dans tous les espaces à trois dimensions où elles peuvent se rencontrer. Le point de départ de cette conception se trouve dans l'œuvre de Delbœuf, qui malheureusement l'a compro-

(1 ) Essai sur les fondements de ta géométrie, traduction Cadenat et Oouturat, no 79.