CHAPITRE III

mise par certaines applications erronées. On ne saurait néanmoins trop rendre hommage à sa géniale conception du retournement de la sphère, comme de toutes les autres figures contenues dans l'espace à trois dimensions, au moyen d'une rotation dans l'espace à quatre dimensions '. Il montre aussi que le plan euclidien, dans un espace méteuclidien, est une sphère de rayon infini, ne jouissant pas de la propriété d'y être retournable.

Jusque-là nous ne pouvons qu'applaudir en fervent disciple ; mais voici où l'erreur apparaît. On sait qu'il est, dans l'espace euclidien, des surfaces à courbure constante négative, notamment les pseudo-sphères, particulièrement étudiées par Beltrami et dont la trigonométrie est naturellement identique à celle des hypersphères de Lobatchefsky. Or, poursuivant sa pensée d'identification, Delbœuf l'étend à ce nouveau cas. Ici il nous est impossible de le suivre, car la pseudo-sphère, si elle est à courbure constante, présente néanmoins des différences capitales avec les hypersphères, à n'envisager que leurs propriétés intrinsèques, et elles ne sont pas des surfaces isogènes. Les géodésiques des pseudo-sphères se coupent en effet deux à deux un nombre infini de fois, et celles des hypersphères au plus une seule fois ; par deux points d'une pseudo-sphère il passe de même une infinité de géodésiques, au Heu d'une géodésique unique ; enfin, si le déplacement d'une figure s'opère, en un sens, sans déformation sur une pseudo-sphère, cette propriété n'est pas absolue, car le déplacement peut faire naître ou évanouir certaines intersections, ou seulement changer les points où elles se produisent et les angles qu'elles engendrent.

On peut, il est vrai, faire évanouir ces différences en

(1) L'ancienne et les nouvelles qéometries, dans la Revue philosopfiique (voir notamment, dans le numéro d'avril 1894, les pages 373 k 377) .

considérant une pseudo-sphère sur laquelle une infinité de feuillets seraient enroulés et en faisant abstraction des intersections résultant de la superposition des divers feuillets : c'est ainsi qu'on peut considérer un cylindre de révolution comme ayant identiquement la géométrie du plan. Mais cet artifice, intéressant assurément, ne saurait permettre de poser l'identité des surfaces. Ajoutons que l'arc de géodésique qui joint deux points d'une pseudo-sphère est plus long que la droite euclidienne qui en forme la corde, alors que l'horicycle est plus long lui-même que tout segment d'hypercycle allant également de l'un de ces points à Tautre; mais cette considération oblige à sortir des surfaces étudiées.

A vrai dire, la thèse de Delbœuf, eût-elle été vraie dans son entier, n'aurait constitué en aucune façon une réfutation de la géométrie générale : elle l'eût ramenée à être celle des divers espaces isogènes à trois dimensions inclus dans un espace eucHdien à quatre dimensions, ce qui d'ailleurs constituerait évidemment un joli succès pour Teuclidianisme. Mais nous avons vu qu'il n'en est rien, l'identification s'arrêtant aux sphères et horisphères et les espaces de Lobatchefsky ne pouvant entrer dans aucun espace euclidien quel qu'en soit le nombre de dimensions *.

Reste à examiner les objections opposées à l'identification réduite telle que nous la soutenons. M. Barbarin étant parfaitement d'accord sur ce point avec M. Mansion, nous prendrons son exposé tel qu'il se trouve dans la seconde édition de son livre sur la Géométrie non euclidienne de la collection Scienlia ^ Son argumentation ne nous visant pas exclusivement, bien qu'il vise nos précédentes publications, il commence par objecter

{{) 11 est surprenant de voir un homme aussi averti que M. Mcyerson méconnaître un tel théorème, ainsi que le caractère de la courbure d'un espace de Lobatchefsky (voir Identité et Réalité, p. 28).

(2) Pages 71 à 76.

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qu'il n'y a pas de raison pour ne pas identifier le plan riemannien aussi bien à une sphère lobatchefskienne qu'à une sphère euclidienne : nous sommes absolument de cet avis, et Ton a vu que nous identifions les sphères des trois géométries. De même, quand il demande quel argument on opposerait à un lobatchefskien prétendant que le plan euclidien n'est qu'une horisphère, nous répondons qu'il n'y a pas d'argument à opposer, cette proposition étant incontestable à nos yeux, pourvu qu'on ajoute que le plan euclidien est une horisphère de Lobatchefsky envisagée dans un espace où elle soit retournable.

Ensuite M. Barbarin fait remarquer que chacun des trois espaces contient des surfaces à courbure constante positive, négative ou nulle, ce qui, dit-il, « fait ressortir d'une manière saisissante l'indépendance absolue des trois systèmes de géométrie, qui peuvent chacun tout tirer de son propre fonds sans avoir besoin de rien emprunter aux autres ». Le fait géométrique énoncé n'est pas contesté ; mais, ainsi que nous l'avons fait ressortir à l'occasion des pseudo-sphères euclidiennes, ces surfaces à courbure constante ne sont pas isogènes, quand leur courbure est inférieure à celle de la surface retournable de l'espace considéré, et elles n'introduisent aucun élément dans la discussion.

« Entrant ensuite, dit-il, dans la discussion même de Y objection soulevée (nous soulignons le mot c< objection » car nous ne savons pourquoi ce mot est employé), M. Barbarin s'exprime ainsi :

« Sans doute, le géomètre euclidien peut interpréter la géométrie riemannienne sur une sphère, mais cela ne lui donne aucun droit à conclure que cette géométrie ne fait qu'un avec la géométrie sphérique usuelle. Nous avons vu, en effet, dans le chapitre II, que la droite est d'une façon générale l'être géométrique caractérisé uniquement dans l'espace par la définition (4) et les postulats l, 2, 4 ; en ceci, nulle hésitation; tous les géomètres,

aiSTOIRE ET POLlilMIQlJES RELATIVES A LA GÉOMKTRIF lOÔ

euclidiens ou non, sont parfaitement d'accord. Le plan est aussi, d'une façon générale, l'être géométrique caractérisé par les définitions précédentes et la définition (7). Par toute droite on peut faire passer une infinité de plans. Ajoutons-y le rejet du postulat 6, mais rien de plus, nous aurons défini spécialement la droite riemannienne et le plan riemannien ; par toute droite riemannienne on peut donc faire passer une infinité de plans riemanniens, et dans chacun d'eux cette droite a un centre déterminé et distinct ; mais on peut concevoir la droite sans les plans.

« Or, ce qui précède n'a aucune espèce de sens quand on parle de grand cercle au lieu de droite, et de sphère au lieu de plan. En effet, sur la sphère, le grand cercle est bien l'être géométrique défini par les conventions (4), 1, 2 et 4, et il est prouvé de plus qu'il jouit de la propriété exprimée par le rejet du postulat 6, mais sa considération ne peut aller sans celle du pseudo-plan unique qui le renferme, et dont il est impossible de l'abstraire, chaque portion si minime qu'elle soit de ce grand cercle le déterminant tout entier, ainsi que le centre et le rayon de la sphère dont il fait partie. »

Le premier des deux paragraphes que nous venons de reproduire ne provoque qu'une seule réflexion, simple remarque du reste : c'est évidemment par distraction que M. Barbarin parle d'w/i centre sur chaque plan pour la droite riemannienne, car elle en a deux, comme il le dit lui même à la page suivante.

Le deuxième paragraphe appelle au contraire les plus graves réserves. L'idée fondamentale en est qu'à la différence de la droite, qui peut se passer du plan, le grand cercle exige la sphère : cela est incontestable dans l'espace euclidien, mais non dans l'espace sphérique à trois dimensions. Puis il est dit que ce pseudo-plan, prétendu nécessaire, est unique : oui sans doute, si l'on se place dans un espace euclidien (mais alors la sphère n'est même pas un pseudo-plan), non dans l'espace sphérique

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