CHAPITRE III

OÙ il en existe une infinité passant par chaque grand cercle, si bien que la grande sphère peut être retournée par rotation autour dudit grand cercle. Tout le reste de la phrase n'est que le développement de cette idée qu'il ne passe qu'une grande sphère par un grand cercle donné. En un mot, M. Barbarin traite ce cercle comme si on le considérait dans un espace euclidien ; il n'est donc pas surprenant qu'il lui découvre des propriétés tout euclidiennes.

« On aura beau appeler à son aide les ressources de l'analyse et les propriétés factices des hyperespaces... » Cette phrase sert d'introduction à un résumé de notre démonstration, au moyen de la géométrie analytique euclidienne à quatre dimensions, et on y remarquera cette épithète bien gratuite de factice appliquée à la géométrie à quatre dimensions.

L'exactitude de notre calcul est du reste admise, et la conclusion qu'en tire M. Barbarin est la suivante : a On aura seulement prouvé que tous les espaces sphériques euclidiens ou non jouissent de propriétés semblables, car, dans les équations précédentes, x, y, s, v et R sont aussi, à condition de les choisir convenablement, des coordonnées et une constante applicables à un espace sphérique de forme quelconque ».

Pour l'instant, contentons-nous de prendre acte de cette déclaration et continuons notre lecture : « La définition d'une circonférence, d'une sphère, d'un espace sphérique ne peut se concevoir d'ailleurs sans qu'on y ajoute, implicitement ou non, la considération du centre et du rayon de cette circonférence, de cette sphère ou de cet espace sphérique ; or il faut distinguer suivant que l'on entend parler des propriétés absolues de ces figures ou des propriétés relatives, soit de la circonférence considérée comme grand cercle de la sphère de même rayon, soit de la sphère considérée comme grande sphère de l'espace sphérique de même rayon ».

Nous reconnaissons bien volontiers qu'en posant un

HISTOIRE ET POLÉMIQUES RELATIVES A LA GÉOMÉTRIE lit

cercle, une sphère, un espace comme des figures euclidiennes, nous les rattachons à un centre et leur reconnaissons un rayon : nous l'avons du reste fait explicitement dans le calcul résumé par M. Barbarin. Quant à la distinction entre les propriétés absolues et les propriétés relatives, nous ne pourrions qu'y applaudir sans réserve, si par « propriétés absolues » M. Barbarin entendait ce que nous avons appelé « propriétés intrinsèques » ; mais telle n'est pas sa pensée, car on va se rendre compte qu'il appelle ainsi les propriétés relatives au contenant euclidien, réservant le terme « relatives » à celles qui apparaissent dans le contenant sphérique. Il continue en effet de la façon suivante :

« Dans le premier cas, les figures considérées n'ont qu'un centre, et les distances de ce centre à leurs divers points sont comptées suivant des droites euclidiennes ; dans le second, ces figures ont deux centres et les distances sont comptées suivant des circonférences ».

Tout cela est parfaitement exact et non contesté ; mais poursuivons notre lecture :

« Il en est tout autrement dans la géométrie riemannienne ; qu'il s'agisse des propriétés absolues ou des propriétés relatives, la droite, le plan, l'espace ont deux centres symétriques par rapport à ces figures... »

Voyez-vous ce que ce terme « absolues » a d'insidieux, car qui oserait parler d'identité entre deux êtres jouissant de propriétés absolues dili'érentes ? Mais ce ne sont là que des propriétés relatives au contenant et nullement des propriétés intrinsèques des êtres eux-mêmes, centre et rayon n'étant pas parties de la sphère, par exemple. M. Barbarin ne fait d ailleurs que constater, comme nous, que dans les espaces riemanniens, comme dans les espaces sphériques inclus dans des espaces euclidiens d'ordre supérieur, on a deux centres symétriques pour les lignes, surfaces et espaces retournables : ce n'est assurément pas un principe de distinction ; mais il en apparaît un dans la fin de la phrase qui se termine

lia

Chapître lit

ainsi : « ...et les distances de chacun de leurs points à ces centres sont toujours comptées suivant des droites ».

On éprouve quelque embarras ici, faute d'avoir une définition précise de ce que M. Barbarin entend par propriétés absolues. Il est certain que cela ne désigne pas les propriétés intrinsèques ; force nous a donc été, quand on partait d'un espace euclidien, d'appliquer cette expression aux propriétés dans cet espace, premier donné, puis d'entendre par propriétés relatives celles que manifestent les ligures dans un espace différent inclus dans ledit espace euclidien. Pour procéder de même ici, on doit entendre par propriétés absolues celles qui se manifestent dans l'espace riemannien, premier donné, puis par propriétés relatives celles qui apparaissent dans les espaces d'ordre inférieur inclus dans le précédent. Considérons les premières : alors il est incontestable que les distances se mesurent suivant des droites, les droites de l'espace riemannien donné, tandis que dans l'espace sphérique dit euclidien on les mesurait suivant les grands cercles de cet espace. Mais la question est précisément de savoir si quelque chose différencie ces grands cercles des droites riemanniennes : les uns et les autres sont des lignes fermées possédant deux centres symétriques sur une surface isogène retournable et sur laquelle ils sont eux-mêmes retournables. Ajoutons que nous ne comprenons pas clairement ce que signifient ici les propriétés dites relatives : lorsqu'il était question des figures dites euclidiennes, M. Barbarin pouvait les envisager soit dans un espace euclidien d'ordre supérieur soit dans les espaces sphériques où elles étaient retournables ; mais ici, comme on se place d'emblée dans l'espace où les ligures sont retournables, on ne peut ensuite les envisager dans un espace de plus forte courbure puisqu'elles ne pourraient y entrer. Que si l'on envisageait des sphères et des cercles dans ces espaces d'ordre inférieur, les distances y seraient mesurées

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suivant des cercles et non suivant des droites de l'espace supérieur, en sorte qu'on retomberait dans les conditions énoncées à propos des figures dites euclidiennes*.

Il nous semble donc difficile de dégager nettement la pensée de M. Barbarin dans cette fin de phrase ; mais assurément on ne saurait y découvrir un argument convaincant. Nous devons maintenant revenir sur une déclaration capitale que nous avons notée au passage : « On aura seulement prouvé, a dit M. Barbarin, que tous les espaces sphériques euclidiens ou non jouissent de propriétés semblables ». Voici encore un mot qui prête à discussion : qu'est-ce à dire « semblables »? s'agit-il d'une simple analogie ou d'une identité ? En fait, c'est d'une identité qu'il s'agit, si nous ne nous amusons pas à donner des noms différents aux mêmes faits géométriques. En d'autres termes, pour maintenir une distinction, il faut dire qu'il s'agit d'espaces isométriques différents ; mais où est Je principe de distinction ? et comment s'y prendra-t-on pour empêcher l'espace riemannien d'entrer dans un espace euclidien? il faudrait assurément pour cela ajouter quelque chose à la notion d'espace riemannien L'eût-on fait qu'on serait fort peu avancé, car l'espace riemannien ainsi différencié pourrait être inclus dans un autre d'ordre supérieur isométrique de

(1) La lerminolo^'ie de M. Barbarin pourrait donner lieu à d'autres remarques. Après avoir déllni l'iiypercycle comme équidislanle d'une droile lobatchefskienne, il montre que cette ligne jouit de la propriété que les médiatrices de toutes ses cordes ont une normale commune; or, sur la sphère, les petits cercles, équidistantes des grands cercles, jouissent de la même propriété que M. Barbarin prend alors comme définition de Thypercycle, ce qui lui permet de dire que toute circonférence riemannienne est un hypercycle riemannien. Bien entendu, sur toutes les sphères d'Euclide et de Lobatchefskj il en est exactement de même, mais les médiatrices n'j sont plus des géodésiques de l'espace ou des droites. M. Barbarin est donc en droit de refuser k ces petits cercles le nom d'hypercycles, et voilà créée une nouvelle et essentielle distinction entre le monde riemannien et le monde euclidien !

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