CHAPITRE IV

le

démonstrations dupostulatim non appuyées sur d'autres

postulats.

Nous avons d'ailleurs vu que c'est à bon droit que l'on a ainsi attribué une importance spéciale à ce postulat ou à ses remplaçants, bien que les géomètres qui se sont efforcés d'établir une science purement déductive aient eu besoin de recourir à une vingtaine de postulats. Il est bien évident en effet que les géomètres classiques ont dû partir d'une certaine notion de l'espace, notion qu'on peut résumer dans la formule : variété (ou diversité) isogène à trois dimensions. Tous les postulats autres que le postulatum d'Euclide ne font guère qu'exprimer les propositions élémentaires qui traduisent cette conception générale et permettent de construire toute la géométrie suivant les règles de la logique sans aucun recours à son

objet.

Si l'on s'en tient à cette notion de variété isogène, on ne pourra jamais en déduire le postulatum d'Euclide, ainsi qu'il résulte notamment de la géométrie numérique, si magistralement établie par le général de Tilly, et de la comparaison du dictionnaire, posée trop sommairement par M. Poincaré, mais répondant au fond à un argument irréfutable.

Avant même que cette impossibilité eût été établie, bien des penseurs y ont cru ; mais deux tendances différentes se sont alors manifestées. Les uns, ne voyant aucune nécessité d'admettre une proposition non démontrée,ont admis des propositions opposées et ont cherché ce que produirait Tintroduction de ces nouveaux postulats dans la géométrie : ainsi sont nées les géométries non-euclidiennes dont le développement sans contradiction vint vérifier l'indémontrabilité à\x postulatum, sans constituer d'ailleurs une preuve véritable de cette indémontrabi-

lité.

D'autres, comme Kant, ont fait de l'espace une forme a priori de notre sensibilité, s'imposant à nous en dehors de toute expérience. Dans cette conception se trouve

d'abord une pensée qui nous paraît incontestable, c'est que l'idée de diversité dont nous parlions tout à l'heure ne suffît pas à fonder ce qu'on a, jusqu'à ces derniers temps, toujours entendu par géométrie : elle permet bien d'établir une géométrie purement numérique ou une géométrie purement logique ; mais ces sciences restent étrangères à toute image spatiale, faisant apparaître les choses comme en dehors et à côté les unes des autres. Mais, si la diversité doit nous apparaître sous une forme sensible, nous ne voyons aucune nécessité que cette forme soit imposée a priori dans tous ses détails et que ses déterminations ne soient pas conditionnées par l'expérience.

Au fond de cette divergence, il pourrait bien y avoir surtout une opposition entre idéalisme et réalisme, même hypothétique comme le nôtre. Si nos sensations ne répondent à rien d'extérieur, chacun de nous les reçoit comme des données de sa propre nature ; si au contraire il existe des phénomènes objectifs auxquels répondent nos sensations, suivant une loi de correspondance d'ailleurs inconnue, il est naturel de penser qu'à des phénomènes différents répondraient des sensations différentes, qui elles-mêmes pourraient s'organiser suivant des formes différentes. On remarquera d'ailleurs que cette conception donne une base à l'unité des images géométriques de tous les hommes, tandis que, dans l'hypothèse inverse, cette unité n'a qu'une réalité de fait, qui chaque jour pourrait se trouver contredite.

Nous comprenons donc fort bien que M. Pillon, étant idéaliste ', considère la géométrie euclidienne comme liée aux lois de notre sensibilité ; mais on a vu que cela ne l'empêche aucunement de reconnaître le caractère contingent de cette géométrie, ces lois étant elles-mêmes

(1) Il est vrai que M. Pillon adinei un monde extiVriour composé d'êtres sensibles dont les sensations sont en rapport avec les nôtres, mais il se refuse à admettre que nos sensations aient une base dans les rapports existant entre ces êtres sensibles.