CHAPITRE IV

que toute notre connaissance s'écroule en même temps »*.

Assurément, il faut interpréter librement la pensée de Kant pour la faire aboutir à une telle conclusion ; mais n'avons-nous pas vu des néo-criticistes y arriver? Renouvier, avec peine, par une sorte d'aveu émis difficilement, M. Pillon avec une parfaite netteté de pensée.

Notons simplement ici que certains partisans de la géométrie générale nient, contrairement à ce que nous avons admis dans ce qui précède, la possibilité d'une influence de nos perceptions sur nos conceptions géométriques. Nous ne discuterons pas en ce moment cette thèse, nous réservant de le faire lorsque, après avoir étudié le rôle de l'espace et du temps en mécanique, nous disposerons de tous les éléments d'appréciation dans la question de la géométrie de notre univers.

Mais revenons à la question de la géométrie générale au point de vue philosophique : doit-on la considérer comme contraire à la notion relative de la grandeur ? Nous avons vu que telle est au fond la principale objection élevée contre elle, la seule, à vrai dire, qui ait une portée réelle. Il est parfaitement exact que, dans un espace non euclidien, un nombre détermine une grandeur, ainsi que l'a fait ressortir M. Tarry ^ M. Barbarin lui oppose une objection qui, sous sa plume surtout, nous paraît dépourvue de toute portée. On se souvient que M. Tarry avait fait remarquer qu'il suffit de donner une fraction d'angle droit /, différente de 2/3, pour déterminer le côté du triangle équilatéral ayant ses angles égaux à cette fraction d'angle droit. Or, M. Barbarin répond qu' « il y a une infinité de triangles équilatéraux ABC où le rapport de l'angle BAC à l'angle droit égale un nombre donné / », ajoutant que le nombre t ne fait connaître que le rapport de AB au paramètre U du plan

(1) Essai sur les fondements de la f/éométrie, p. 173.

(2) Voir p. 90, note 2.

considéré Or, comme nous l'avons fait remarquer avec insistance, ce paramètre U n'a de sens comme caractérisant un espace et son plan que si l'on se place dans un espace à quatre dimensions, permettant de comparer les paramètres des divers espaces à trois dimensions. Or, M. Barbarin écarte absolument cet ordre de considérations, en sorte que U ne peut s'exprimer qu'en fonction d'une longueur prise dans l'unique espace à trois dimensions considéré et ne saurait aucunement caractériser cet espace.

Alors même, du reste, qu'on accepte les espaces à plus de trois dimensions, on se heurte à une difficulté : nous avons vu que les espaces lobatchefskiens ne peuvent entrer dans un espace homogène d'un plus grand nombre de dimensions, en sorte qu'il faut toujours se placer dans un certain espace lobatchefskien, dans lequel le nombre donné déterminerait une longueur.

Donc nous arrivons à cette conclusion qu'admettre les géométries non-euclidiennes, c'est accepter qu'un nombre puisse déterminer une longueur dans l'espace supposé donné, quel qu'il soit, pourvu qu'il ne soit pas euclidien, c'est-à dire homogène ; mais cela ne signifie pas, bien entendu, que le nombre mesurant une longueur ne soit pas fonction d'une unité de mesure arbitrairement choisie. Là apparaît ce qu'il y a d'un peu captieux dans l'argument de M. Tarry, lequel n'ajoute absolument rien à l'argument tiré de l'impossibilité de majorer une figure sans la déformer. Comme nous l'avons déjà dit, cette exigence de la possibilité de la majoration dans un monde donné ne nous paraît pas imposée par la raison ; tout ce que celle-ci est en droit d'exiger, c'est qu'on puisse concevoir la majoration. Or rien n'est plus facile grâce à la conception d'espaces d'ordre supérieur : il suffit d'inclure l'espace donné dans un espace supérieur de courbure algébriquement plus petite pour qu'on puisse à volonté y majorer ou minorer le monde donné et par suite toutes les figures qu'on peut y tracer (voir p. 100).