CHAPITRE IV

Ainsi se trouve justifiée la réponse opposée par M. Barbarin à M. Tarry, mais à condition d'abandonner sa conception de trois géométries isolées et limitées à trois dimensions, qui ne permet pas, non seulement de comparer les longueurs de deux espaces d'espèces différentes, mais même de concevoir deux espaces différents de même espèce. Ajoutons que ce morcelage désastreux ne paraît avoir d'autre raison d'être qu'une habitude d'esprit, contractée sous l'influence de la genèse historique des géométries non euclidiennes.

Supposons, disions-nous dans la préface de notre Introduction à la géométrie générale, un pays sans relation avec le reste du monde et imaginons le réseau de ses voies de communication. Il est aisé de comprendre que ce réseau, du moins par ses artères principales, ne conduira point aux limites de ce pays : créé pour en desservir les besoins intérieurs, les seuls connus, il ne sera naturellement aucunement aménagé pour répondre à des relations internationales Telle est l'image, ajoutions-nous, de la géométrie euclidienne à trois dimensions. Etablie pour faire connaître les propriétés des figures que peut recevoir un espace que Ton considérait comme essentiellement unique et en dehors duquel on n'admettait pas qu'il put y avoir d'autres figures, elle constitue une science fermée, oii rien ne prépare à la généralisation des notions sur lesquelles elle repose.

Lorsque, plus tard, frappé de l'impossibilité de démontrer le postulatitm d'Euclide, on songea à faire reposer une autre géométrie sur une hypothèse différente, on prit modèle sur ce qu'avaient fait les précédents géomètres, et l'on édifia un système différent du premier, mais non moins fermé que lui; puis une troisième hypothèse engendra une troisième géométrie également close.

Ainsi habitués à voir trois géométries indépendantes Tune de l'autre, les néo-géomètres se refusent à passer librement de l'une à l'autre et à admettre leur unité synthétique : nos efforts, jusqu'ici infructueux en général,

tendent à faire disparaître ce préjugé, qui n'a que la valeur d'une habitude, en mettant en lumière, d'une part, la possibilité d'établir les trois géométries en partant d'un espace à quatre dimensions à courbure négative, les horisphères et les sphères jouant sans aucune différence les rôles des plans d'Euclide et de Riemann, quand on les considère dans un espace à trois dimensions approprié, et, d'autre part, les avantages de généralité et de satisfaction philosophique qu'entraîne cette unification de conception.

A ces considérations d'ordre général, nous ajouterons quelques réflexions sur un détail qui avait frappé Kant de façon si exceptionnelle qu'il n'a cessé d'y revenir tout au long de sa carrière philosophique : nous voulons parler du paradoxe des figures symétriques. Voici d'abord en quels termes il le formule au paragraphe XIII des Prolégomènes à toute métaphysique future :

« Si deux choses sont parfaitement identiques dans toutes les parties qui peuvent toujours être connues en soi (dans toutes les déterminations appartenant à la quantité et à la qualité), il doit se faire cependant que l'une peut être placée dans tous les cas et sous tous les rapports à la place de l'autre, sans que cette substitution occasionne la plus légère différence appréciable K II en est ainsi en réalité des figures planes en géométrie ; mais des figures symétriques, malgré ce parfait accord interne, prouvent qu^au point de vue externe, l'une ne peut absolument pas prendre la place de l'autre : ainsi deux triangles sphériques de deux hémisphères opposés, qui ont pour base commune un même arc de l'équateur, peuvent être parfaitement égaux quant aux angles et aux côtés, en sorte que dans l'entière description d'un seul, il n'y ait rien qui ne convienne en même temps à la

(i) Il semble que, dans cette phrase, le mot « cependant » est de trop.

Nous citons d'après la traduction Tissot.

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