CHAPITRE iV

description de l'autre ; et cependant l'un ne saurait être mis à la place de l'autre (c'est-à-dire sur l'hémisphère opposé), car ici se trouve une différence interne des deux triangles qu'aucun entendement ne peut cependant donner comme intrinsèque, et qui ne se manifeste que parle rapport externe dans l'espace ». Suivent des exemples plus familiers : mains ou oreilles et image d'un objet

dans une glace.

Ce paradoxe a véritablement obsédé la pensée de Kant, qui en parle dans son opuscule de 1768 sur le premier fondement de la différence des régions dans l'espace, dans sa dissertation de 1770 6?«r la forme et les principes du monde sensible et du monde intelligible, dans ses Prolégomènes de 1783 et dans ses Premiers principes métaphysiques de la science de la nature de 1786 (chap. P^

défin. II, scolie 3).

Nous n'insisterons pas sur les conclusions tirées par Kant de ce paradoxe, car la géométrie générale le fait s'évanouir, et nous nous bornerons à noter que peut-être ces conclusions ne sont-elles pas contradictoires entre elles comme on Ta souvent affirmé. Sans doute, dans les deux premiers écrits que nous venons de citer, il prétend établir que l'espace est absolu ; puis, dans les deux autres, qu'il est relatif; mais il s'agit de bien saisir la portée de ces termes. Or il nous semble que M. van Biéma a su montrer qu'en l'espèce ils ne sont pas contradictoires. Il s'agit en effet d'établir Xinttiitivité de l'espace, puis sa subjectivité, deux thèses qui s'excluent si peu qu'elles se trouvent unies dans VEsthétique transcendantale. « Mon but, dit Kant en 1768, est de rechercher si... on ne pourrait trouver une preuve évidente de ce que l'espace absolu est indépendant de l'existence de toute matière et possède lui-même, comme fondement premier de la possibilité de l'existence de la matière, une réalité propre » '. Cette notion d'espace absolu.

Conceptus svatii itaque est intuitus puras, dit la disser-

PORTÉE PHILOSOPHIQUE DE LA GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE là")

ajouterons-nous, est si bien conciliable avec sa subjectivité qu'on la retrouve tout au long des Premiers principes métaphysiques de la science de la nature, postérieurs à la Critique de la raison pure et où la subjectivité de l'espace est du reste si bien affirmée que le paradoxe des figures symétriques y sert à l'établir.

Quoi qu'il en soit, le paradoxe énoncé par Kant est bien fait pour troubler : comme il le dit fort bien, tous les éléments intrinsèques des deux figures symétriques sont identiques et, ajoutons-le, disposés dans le même ordre. Ainsi, si nous désignons par A, B, C, A', B', C les angles des deux triangles sphériques et par a, b, c, a\ b\ c' leurs côtés, non seulement on aura :

mais ces éléments se succéderont dans le même ordre : des sommets A et A' partent les côtés b et b' , à la seconde extrémité desquels se trouvent les angles C et C formés avec ces côtés par les côtés a et a, qui aboutissent euxmêmes aux sommets des angles B et B' ; enfin les côtés c et c relient ces derniers sommets aux sommets A et A'. Voilà bien une complète identité géométrique établie, et cependant la géométrie classique est radicalement impuissante à opérer la superposition de ces figures identiques : Kant a complètement raison dans l'énoncé du paradoxe.

Pour apprécier la valeur de la solution que donne la géométrie générale, telle que nous la concevons, nous indiquerons quelles réfutations ou explications du paradoxe ont été données eu dehors d'elle par des hommes éminents.

M. Mansion commence par compléter la désignation de ce qu'on a appelé, dit-il, « le paradoxe [de l'équivalence] des objets symétriques ». Nous ne savons sur quoi il se

tation de 1770. Voir sur tout cela V Espace et te Temps chez Leibniz et chez Kant, par M. van Biéma, pp. 242, 275 et 305.

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CHAPÎTBK TV

fonde pour ajouter les mots mis par lui-même entre crochets ; mais ils lui donnent beau jeu pour convaincre Kant d'une scandaleuse ignorance Le paradoxe des objets symétriques n'existe pas, dit-il, supprimant les mots « de l'équivalence » ajoutés par lui, et alors il a tort, car sa démonstration suppose ce complément. Pour cette fois, M. Mansion a parlé à côté de la question '.

Voici maintenant M. Couturat qui, parlant de l'argument des Prolégomènes, dit : « Cette prémisse suppose qu'il n'y a pas entre les éléments des figures d'autres relations que des relations de grandeur : or c'est là une erreur. Il y a aussi des relations d^ ordre, et ce sont ces relations d'ordre qui diffèrent, ou plutôt qui sont inverses dans les figures symétriques » ^ Or, si Kant n'a peut-être pas insisté suffisamment sur la question de Tordre, nous avons vu qu'il est bien le même dans les figures symétriques : ce qui diffère, c'est le sens dans lequel on parcourt les divers éléments de la figure ; or ce sens n'a aucune signification intrinsèque et n'en a qu'au point de vue de la position dans l'espace Le paradoxe subsiste donc intégralement.

M. Milhaud, au contraire, a bien vu que Kant avait eu égard à l'identité des rapports où se trouvent tous les éléments des figures symétriques ; aussi fait-il une réponse plus satisfaisante. 11 fait remarquer que la géométrie analytique permet d'établir l'impossibifité de la superposition ', réponse plus satisfaisante, disons-nous,

(1) Nous parlons ici de sa communication au Congrès de philosophie de Ileidelberg (1908), intitulée Gaas8 contre Kant (voir Revue nëo-scolastique de novembre 1908, p. 449).

(2) La Philosophie des mathématiques de Kant, mémoire lu à la Sorbonne à l'occasion du centenaire de la mort de Kant, inséré dans la Revue de métaphysique et de morale de mai 1904 el en appendice im\ Principes des mathématiques (voir dans ce volume p. 292).

(3) La connaissance mathématique et l'idéalisme transcendantal dans le numéro de la Revue de métaphysique cité à la note précédente.

parce qu'elle donne une preuve analytique du fait, mais preuve que Kant aurait pu dire n'être que la traduction du fait spatial, preuve dont on ne saurait dire d'ailleurs qu'elle constitue une explication. Aussi trouvons-nous que M. van Biéma s'en contente trop facilement.

Au contraire, il nous semble que, pour qui a lu notre chapitre consacré à la géométrie métrique, toute difficulté doit disparaître. La superposition de deux figures symétriques exige un retournement dans un espace d'ordre supérieur à celui de l'espace nécessaire pour inclure la figure, lorsque la symétrie existe par rapporta un espace d'ordre impair ou pair, l'espace contenant étant d'ordre pair ou impair : ainsi la figure plane, symétrique d'une autre par rapport à une droite, doit être retournée à travers un espace à trois dimensions ; une figure à trois dimensions, telle qu'un trièdre, symétrique par rapport à un point ou à un plan, exige un retournement dans un espace à quatre dimensions, et il en est de même d'un triangle sphérique, si l'on se place en géométrie euclidienne, parce que la sphère n'est pas retournable dans un espace euclidien à trois dimensions. On voit donc que les figures symétriques sont réellement superposables, comme l'exigeait le raisonnement de Kant, mais que leur superposition exige un mouvement dans un espace d'ordre supérieur. Dès lors, toutes les l'ois qu'on aura affaire à des figures épuisant les dimensions de l'espace donné, ce mouvement ne pourra être réalisé, et la superposition sera impossible.

Nous croyons que cette solution, si complète et si élégante, du paradoxe des figures symétriques a été donnée pour la première fois par Delbœuf dans son étude sur L ancienne el les nouvelles g éométries (voir Revue philosophique de 1894, sem. I, p. 373). Elle nous paraît constituer un service très réel, bien que de caractère négatif, rendu à la philosophie par la géométrie générale.

LE TEMPS ET L*ESPâCE EN MÉCANIQUE