SP<"*V
de détail, des combinaisons de nombres arrivant au même résultat. Maintenant, nous allons sortir de ces pures abstractions pour en faire l'application à une forme d'extériorité, selon l'expression qu'affectionnait M. Russell lorsqu'il écrivit son premier ouvrage sur la géométrie \ Au moment de cette entrée dans le monde des images, bien des questions se posent dont nous reporterons l'examen au chapitre suivant, consacré à la géométrie métrique, car nous devons nous souvenir qu'ici nous nous contentons d'un simple coup d'œil sur les géométries non métriques, ou plutôt sur quelques-unes d'entre elles, dans le seul but de mieux faire comprendre ce qui suivra.
Par là même que les notions mathématiques vont s'attacher à des images, des combinaisons diverses ou constructions vont s'imposer, et Ton appellera axiomes les conditions nécessaires à ces constructions, ou à ces expériences comme dit M. Russell. Etant donné le parti pris de simplification que nous nous imposons dans ce simple aperçu, nous ne retiendrons que cet axiome que deux points déterminent une ligne unique que nous appellerons droite, à quoi nous ajouterons que toutes les lignes droites sont qualitativement semblables.
Les opérations fondamentales par lesquelles on transforme projectivement les figures s'appellent projection et section et sont ainsi définies par Cremona dans ses Eléments de Géométrie projective ^ :
« Projeter d'un point fixe 0 {centre de projection) une figure [ABCD..., abcd...!^ composée de points et de droites signifie construire les droites ou rayons proje-
(1) An Essai/ on ttie Foundations of Geometry (Cambridge, 1897). Essai sur les Fondements de la Géométrie,\rB.à\iQ,i\on par Cadenat, revue et annotée par l'auteur et par Couturat (Paris,
(2) Nous citons d'après la traduction de M. Dewulf. On doit remarquer que cet ouvrage, très pr.'cieux à un point de vue technique, est philosophiquement sans portée, étant rédigé à un point de vue méti'ique.
COTJP d'oeil sur les géométries non métriques 25
tants OA. OB, OC, OD..., et les plans {plans projetants) Ofl, Ob, Oc, 0^... On obtient ainsi une nouvelle figure composée de droites et de plans qui passent par le
centre 0.
« Couper par un plan fixe a {plan transversal) une figure [a^yS..., abcd...^ composée de plans et de droites signifie construire les droites ou traces «ra, o-p, ^y..., et les points ou traces ^«, crô, <tc... Il résulte de cette construction une nouvelle figure composée de droites et de points situés dans le plan o-.
« Projeter dnne droite fixe s {axe) une figure ABCD. . . composée de points signifie construire les plans ^A, .sB, .vC... La nouvelle figure est donc composée de plans passant tous par l'axe s.
« Couper par une droite fixe s {transversale) une figure a^yS... composée de plans signifie construire les points va,' .vp, 5y. .. La nouvelle figure est donc composée de points alignés sur la transversale fixe .s\ »
Ces notions premières posées, nous voudrions faire voir comment on peut appfiquer les géométries numériques dans un espace au moyen de procédés prqjectifs. Pour cela nous devons montrer comment le rapport anharmonique de la géométrie métrique peut être transformé en une notion purement projective. On sait que, métriquement, le rapport anharmonique de quatre points collinéaires ABCD est donné par l'expression :
