NOMBRE DES DIMENSIONS DE L ESPACE

Il peut y avoir doute sur ce nombre, mais du moins ici il n est pas de solution approchée, puisque ce nombre est forcément entier.

L'expérience courante montre que nous pouvons déterminer la position d'un point au moyen de trois coordonnées et que trois sont nécessaires. De là il est permis de conclure que notre espace est à trois dimensions ou, si l'on aime mieux, qu'il en est ainsi des phénomènes spatiaux observés par nous.

Si l'on veut un exposé plus méthodique, nous pouvons revenir à la géométrie numérique du général de Tilly, dont nous avons donné une idée sommaire au second paragraphe du premier chapitre du présent ouvrage, géométrie qui se transforme en géométrie métrique quand on en fait l'application au moyen du déplacement d'une figure supposée rester identique à elle-même pendant son mouvement. Dans la correspondance que nous avons échangée avec lui, cet illustre géomètre nous a indiqué, par exemple, comment on s'apercevrait que l'on a attribué un trop grand nombre de dimensions à un espace.

Supposons qu'opérant sur une surface plane on y prenne trois points fixes fondamentaux :

A (^a,ya»0), B (^6,^6.0), C (Xc,f/c,0).

Alors un point 1 sera donné soit par ses trois distances arbitraires aux points fondamentaux (lA, IB, IC), ce qui déterminera ses coordonnées, sauf le signe de z, soit directement par ses coordonnées arbitraires x, y, z, ce qui déterminera les intervalles lA, IB, IG. Nous pourrons prendre ainsi autant de points que nous voudrons

ÎA GÉOMÉTRIE DE NOTRE UNtVERS

et choisir arbitrairement, outre les trois distances fondamentales, celles de ces points aux points fondamentaux, et les équations des lieux de ces points pourront être celles de droites, de plans, de sphères..., bien qu'on ne soit pas sorti du plan donné, et jamais on ne se heurtera à aucune contradiction. Mais, si, au lieu de prendre arbitrairement les intervalles AB, BC, AC, 1 A, IB, IC, on les mesure au moyen de corps soUdes, on trouvera que z est égal à zéro, et le fait se renouvellera pour tous les points choisis, ce qui révélera que l'espace expérimenté n'a que deux dimensions. De même, nous trouverons des sphères numériques à trois dimensions dans notre espace, mais si nous calculons leurs quatrièmes coordonnées, nous les trouverons constamment nulles, si nous mesurons les intervalles fondamentaux au lieu de leur attribuer des valeurs arbitraires.

Ce genre d'argumentation ne touche pas ceux qui, avec M. le D^de Cyon, cherchent une origine purement phvsiologique à notre notion d'espace. Dans une série d'études, résumée dans un article de la Revue phi/osophique\ cet auteur s'est efforcé de montrer que le nombre trois, attribué aux dimensions de l'espace, est dû uniquement à ce que tel est le nombre de nos paires de canaux semi-circulaires, auxquels serait due la notion de direction ^ On remarquera d'abord, avec M. Cou-

(1) Les bases naturelles de la géométrie d'Euclide {^nnée i90i, 2e sem., p. 1).

(2) On U'ouvera une critique de la théorie de M. de Gjon dans le livre de M. Poincaré sur la Valeur de la Science (p. i33 et s.). Nous y noterons cet argument aux allures téléologiques :

« Les organes des sens sont destinés à nous avertir des changements qui se produisent dans le monde extérieur. On ne comprendrait pas pourquoi le créateur nous aurait donné des organes destinés à nous crier sans cesse : Souviens-toi que l'espace a trois dimensions, puisque le nombre de ces trois dimensions n'est pas sujet au changement. » En l'espèce cet argument nous paraît sans portée, car les canaux semi-circulaires auraient pour objet de nous donner des directions repérant la position variable de notre corps par rapport au monde environnant : le nombre des dimensions ne serait qu'une conséquence du nombre de ces canaux.