CHAPITRE VI

LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE UNIVERS

et Calinon, dans un article de la Revue philosophique *, nous présente, sans sortir de Tespace euclidien, un système de transformation point par point conservant les angles et où des courbes se substituent aux rayons rectilignes ; mais dans ce système, il nous le dit lui-même, les points correspondant à ceux qui sont à la surface de la terre ne diffèrent des points primitifs qu'à des infiniment petits du second ordre près, attendu que cet astre est infiniment petit lui-même. Or, c'est là une énonciation qu'on ne saurait accepter quand on fait intervenir les autres astres du système solaire, les dimensions de notre planète n'étant point alors sans influence appréciable sur les observations.

Nous devons reconnaître toutefois qu'il existe une très réelle indétermination : au système de droites euclidiennes figurant les rayons lumineux, on peut substituer, en effet, une infinité de systèmes isométriques, où angles et longueurs sont les mêmes, et entre lesquels les observations optiques ne permettent de faire aucun choix, car, de même que, à rester enfermé sur un cylindre parabolique, il est impossible de le distinguer d'un plan, de même un espace à trois dimensions, isométrique de l'espace euclidien, lui est absolument identique pour qui reste enfermé dans cet espace. On se trouve donc en présence d'une indétermination rigoureusement irréductible qui subsisterait alors même qu'on pourrait suivre les rayons lumineux et mesurer leurs longueurs et leurs angles en tous points. Après avoir constaté cette indétermination, nous allons discuter celles qu'on prétend y ajouter.

Nous avons vu tout à l'heure que les dimensions de la terre sont assez grandes pour que les observations des directions des rayons lumineux provenant des astres du système solaire permettent de considérer l'hypothèse

(1) L'indétermination géométrique de l'univers, numéro de décembre 1893.

des droites euclidiennes comme plus vraisemblable que celles qui en diffèrent d une façon pratiquement appréciable. Le même système, en passant du pomt de vue géométrique au point de vue dynamique, conduit une seconde fois à la même conclusion. Parlant de la loi de la -ravitation, Calinon déclare qu'on pourrait 1 exprimer, comme toute autre loi physique, au moyen d une autre représentation géométrique de l'univers, et, s .1 se bornait à cela, son assertion serait incontestable; mais .1 ajoute que le choix du système euclidien se justifie seulement par des raisons de simplicité et de commodité, de même que, dans r étude analytique dmie courbe, on adopte telles coordonnées parce que cela conduit a des calculs plus courts et à des formules plus élégantes.

Ceci est encore vrai, sans doute, mais cache un fait très important. D'où vient qu'une loi aussi simple que celle de Newton dans le système où les rayons lumineux sont représentés par des droites euclidiennes prend une forme extrêmement complexe dans un autre système i Il V a une première raison, d'ordre purement mathématique, tenant à ce que les formules de la géométrie des droites d'EucHde sont généralement les plus simples entre celles de toutes les géométries possibles ; mais cette raison ne suffit pas et ne saurait empêcher qu une loi pût avoir une expression plus simple dans une géométrie non euclidienne. Qu'on suppose, en effet (et rien n'empêche de le faire), que la loi de Newton reponde a un système non euclidien et qu'on cherche sa traduction dans le système où les rayons lumineux sont représentes par des droites euclidiennes : on arrivera à une expression beaucoup plus complexe, ce qui montre bien que la simplicité des lois n'est pas liée forcément a celle des systèmes géométriques. Il faut donc reconnaître qu il existe une harmonie entre les réalités physiques et un système spécial de représentation.

Calinon ne fut pas convaincu par ces considérations que nous lui avions soumises, et il essaya de nous