CHAPITRE VI
LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE UNIVERS
euclidien. Pourquoi aurai-je le droit d'appliquer le nom de droite à la première de ces idées et pas à la seconde ? En quoi ces deux syllabes feraient-elles partie intégrante de cette idée intuitive ? »
Si nous nous en tenons là, nous voyons que M.Poincaré considère comme essentiellement arbitraire l'attribution de valeurs égales à des longueurs quelconques ; or nous avons vu, en étudiant la géométrie projective, qu'on peut arriver ainsi à établir toutes les géométries sur une surface quelconque : il n'y a donc rien d'imprévu pour nous dans ses affirmations. Mais ensuite M. Poincaré fait intervenir l'observation.
« Evidemment, dit-il, quand nous disons que la droite euclidienne est une vraie droite et que la droite noneuclidienne n'est pas une vraie droite, nous voulons dire tout simplement que la première idée intuitive correspond à un objet plus remarquable que la seconde. Mais comment jugeons-nous que cet objet est plus remarquable?...
« Si la droite euclidienne est plus remarquable que la droite non-euclidienne, c'est avant tout qu'elle diffère peu de certains objets naturels remarquables dont la droite non-euclidienne diffère beaucoup \ Mais, dirat-on, la définition de la droite non-euclidienne est artificielle ; essayons un instant de l'adopter, nous verrons que deux cercles de rayon différent recevront tous deux le nom de droites non-euclidiennes, tandis que de deux cercles de même rayon l'un pourra satisfaire à la définition sans que l'autre y satisfasse, et alors, si nous transportons une de ces soi-disant droites sans la déformer, elle cessera d'être une droite. Mais de quel droit considérons-nous comme égales ces deux figures que les géomètres euclidiens appellent deux cercles de même rayon ? C'est parce qu'en transportant l'une d'elles sans la déformer on peut la faire coïncider avec l'autre. Et
(1) Cette raison nous paraît sans portée et nous la négligerons.
pourquoi disons-nous que ce transport s'est effectue sans déformation? Il est impossible d'en donner une bonne raison Parmi tous les mouvements concevables, il y en a dont les géomètres euclidiens disent qu'ils ne sont pas accompagnés de déformation ; mais il y en a d autres dont les géomètres non-euclidiens diraient qu ils ne sont pas accompagnés de déformation.
« Maintenant quand nous disons que les mouvements euclidiens sont les vrais mouvements sans déformation, que voulons-nous dire ? Nous voulons dire simplement qu'ils sont -plus remarquables que les autres ; et pourquoi sont-ils plus remarquables? c'est parce que certains corps naturels remarquables, les corps solides, subissent des mouvements à peu près pareils ».
Tout cela est irréfutable ; mais tout cela repose sur une attitude ne correspondant pas à la question posée. Si 1 on demande quelle est la géométrie de notre univers on pose une question de science expérimentale, qui doit être résolue par les procédés de la science expérimentale Or, dans cette science, on considère jusqu'à preuve contraire comme s'opérant sans déformation les déplacements à la suite desquels les corps font sur nos sens a même impression qu'auparavant ; au lieu de cette régie de conduite fondamentale, M. Poincaré veut que nous considérions indifféremment comme s'effectuant sans déformation le déplacement de ce que nous appelons une règle rigide et celui d'un mécanisme savamment combiné pour vérifier les conditions d'un déplacement non euclidien sans déformation : c'est se placer absolument en dehors des conditions mêmes de la vérifica ion expérimentale, et il n'est pas surprenant qu on déclare toute vérification de ce genre impossible.
Il est incontestable qu'on peut imaginer des combinaisons de sensations soulevant de curieuses questions d'interprétation. « Supposons, dit M. Poincaré, un monde renfermé dans une grande sphère et soumis aux lois suivantes :
LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE UNIVERS
