CHAPITRE VI

L\ GÉOMKTRIF DE NOTRE UNIVERS

que nos instruments de mesure et nous-mêmes pourrions fort bien varier de dimension, sans que nous nous en aperçussions, quand nous nous déplaçons (c'est rhypothèse de tout-à-l'heure sans sa précision). Il s'agit de nous rendre compte si l'hypothèse, légitime a priori, résiste à l'épreuve de la méthode expérimentale. La considération d'un astre suffisamment voisin, visé de divers points de la terre, va nous permettre de réduire cette hypothèse à sa juste valeur.

Prenons une base d'observation et les rayons lumineux joignant ses divers points à un point extérieur et représentons tous cela sur un dessin ; puis établissons-en un second où les parties égales de la première base soient remplacées par leurs mesures évaluées au moyen de l'instrument variable de M. Poincaré * : aux points homologues des deux bases, les rayons lumineux ont mêmes directions, d'où il résulte que, si nous attribuons à la seconde série la forme de droites euclidiennes, ils ne seront pas concourants, les premiers Tétant. S'ils Tétaient, en effet, ils détermineraient sur la seconde base des segments proportionnels à ceux de la première, ce qui est contraire à l'hypothèse. Reste donc la ressource, parfaitement légitime, de modifier la forme des rayons lumineux, laquelle ne nous est pas donnée. Mais ici nous rentrons dans un cas analogue à celui de la gravitation, étudié plus haut : l'abandon des mesures résultant de Thypothèse de constance de nos appareils nous conduit à un système très complexe, et dont la complexité est toute de fait, puisque, inversement, nous aurions pu nous donner un système simple dans le second cas, ce qui nous aurait fait remonter à un système complexe dans le premier. On est en droit d'admettre dès lors que la première hypothèse répond à la réalité, puisqu'on ne

(1) Nous supposons ici des bases rectilignes ; dans la réalité, on a une base courbe, et dont la l'orme n'est déterminée qu'au moyen des mesures. Il en résulte seulement que la complication est plus grande que celle à laquelle nous allons aboutir.

doit pas supposer que la simplicité du système auquel elle conduit soit l'effet d'un pur hasard.

Nous arrivons donc à cette conclusion d'ensemble que, sous réserve du caractère approximatif de toute mesure, l'interprétation des données géométriques dont nous disposons conduit à un résultat beaucoup plus simple si Ton admet la constance de nos appareils de mesure quand nous les déplaçons, contrairement à Thypothèse de M. Poincaré, et si Ton attribue aux rayons lumineux la forme de droites euchdiennes. Cette simplicité n'est, d'ailleurs, point la conséquence exclusive, nous l'avons vu en ce qui concerne la forme des rayons lumineux, de la simplicité de la droite euclidienne, mais ne s'explique que par une véritable harmonie entre Thypothèse et la réalité. Gela ne saurait constituer une preuve véritable de la forme des rayons lumineux, car les autres hypothèses n'entraînent aucune contradiction ; mais on est bien loin d'être en présence d'un cas analogue à celui du choix d'un système de coordonnées.

Nous sommes donc en droit de dire que le système géométrique constitué par le système solaire et même les étoiles les plus proches est conforme, selon toute vraisemblance, au système euclidien, toujours sous les réserves du caractère approximatif des mesures et de Tindiscernabilité des espaces isométriques.

Ce dernier point vaut qu'on y insiste un peu pour en reconnaître la véritable portée. Si un espace n'est qu'un système de possibilités de relations, et si ces relations sont isolées, non comprises dans un ensemble plus général constituant un espace d'ordre supérieur, c'est-à-dire avant plus de dimensions, alors les divers espaces isométriques apparaissent comme de véritables indiscernables *. Si donc notre univers ne fait pas partie d'un

(1) Nous parlons, bien entendu, des seuls espaces isométriques dans lesquels les intersections des géodésiques ne sont pas multipliées.

CBAPITRE VI

LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE UNIVERS

espace à quatre dimensions, inconnu des hommes, Fhypothèse d'espaces isométriques n'a pas de raison d'être, puisque leur distinction n'a de sens que dans un espace à quatre dimensions.

Dans le même ordre d'idées, on peut se demander ce que signifierait l'hypothèse de la variabilité des appareils de mesure : si tous les corps ne varient pas également de longueur en passant d'un lieu dans un autre, on doit rechercher les motifs qui peuvent guider dans la détermination des mesures ; mais, si l'on suppose que tout varie également^ la relativité essentielle des grandeurs permet de demander ce que signifie cette prétendue variation et d'affirmer qu'elle est dépourvue de toute signification, en sorte que l'hypothèse de M. Poincaré s'évanouit quand on la pousse à l'extrême.

Il y a du reste des moments où l'on se croit d'accord avec cet illustre savant. Ainsi nous n'aurions que peu de chose à changer pour faire nôtres ces conclusions extraites de la Science el F Hypothèse :

« On voit que rexpérience joue un rôle indispensable dans la genèse de la géométrie ; mais ce serait une erreur d'en conclure que la géométrie est une science expérimentale, même en partie.

(( Si elle était expérimentale, elle ne serait qu'approximative et provisoire. Et quelle approximation grossière !

« La géométrie ne serait que l'étude des mouvements des sofides ; mais elle ne s'occupe pas en réaUté des sofides naturels, elle a pour objet certains solides idéaux, absolument invariables, qui n'en sont qu'une image simplifiée et bien lointaine.

« La notion de ces corps idéaux est tirée de toutes pièces de notre esprit et l'expérience n'est qu'une occasion qui nous engage à l'en faire sortir.

« Ce qui est l'objet de la géométrie, c'est l'étude d'un « groupe » particulier ; mais le concept général de groupe préexiste dans notre esprit au moins en puissance. Il s'impose à nous, non comme forme de notre

sensibilité, mais comme forme de notre entendement.

c( Seulement, parmi tous les groupes possibles, il faut choisir celui qui sera pour ainsi dire V étalon auquel nous rapporterons les phénomènes naturels.

« L'expérience nous guide dans ce choix qu elle ne

nous impose pas » ^

Entre notre manière de nous exprimer et les expressions qui précèdent il y a évidemment des différences notables, mais il semble que la divergence scientifique s'atténue singulièrement pour ne laisser place qu'à des différences dans la tournure d'esprit.

LE PROBLÈME DES MONDES SEMBLABLES