CRITIQUE GÉNÉRALE

Abordant l'étude plus particulièrement philosophique de l'espace et du temps, nous pensons devoir le faire par la critique préalable de l'infini et du continu, à laquelle nous aurons bien souvent à nous référer. Sur ce point, et étant donné que nous n'avons à nous occuper que de l'infini de quantité, nous n'aurons qu'à suivre les traces des maîtres du néo-criticisme, Renouvier et M. Pillon, dont on connaît l'inflexible fermeté dans l'application de ce qu'ils appellent le principe du nombre.

Un premier point, que les adversaires les plus habiles avaient naguère encore bien garde de nier, c'est la contradiction qu'enfermerait la notion d'un nombre infini : « Dans la formation des nombres abstraits par l'esprit, disait M. Milhaud, chacun a pour définition d'être un symbole, succédant au dernier auquel l'esprit s'est arrêté, et précédant celui qui suivra. D'après cette définition même, la création d'un nombre nouveau n'implique jamais aucune impossibilité ; il ne saurait donc exister un nombre venant après tous les autres dans cette suite,

CRITIQUE DE l'iNFINI ET DU CONTINU

un nombre plus grand que tout nombre assignable, en d'autres termes, enfin, un nombre infini. Qui dit nombre dit nombre fini, ou plutôt ces deux mots réunis ne signifient rien de plus que le premier tout seul » *.

Cet argument vise le mode de génération des nombres finis ; or on sait qu'un autre mode de génération donne les nombres transfinis, dont la théorie occupe aujourd'hui dans la science une place telle qu'il n'est plus possible de les ignorer. On peut donc parler et raisonner sur des nombres différents les uns des autres et tous infinis. Mais nous ne croyons pas que cette évolution de la science mathématique ait rien changé au problème que prétend résoudre la loi du nombre.

Ce que cette loi nie, c'est la possibilité d'un nombre infini réalisé, c'est-à-dire d'un nombre infini de réalités passées ou présentes. Ici il convient de faire une remarque : dans la préface à sa thèse si exceptionnellement remarquable sur T Infini mathétnatique, M. Couturat prévient le lecteur qu'il est idéaliste et en conclut qu'il est en droit de nier la distinction de l'infini virtuel et de l'infini actuel. Or nous ne voyons pas que ce soit là une conséquence de l'idéalisme : quand le réaliste parle d'une infinité d'objets distincts, l'idéaliste doit parler d'une infinité de représentations distinctes aussi. L'une et l'autre de ces infinités apparaissent comme également coiftradictoires au finitiste, qui nie aussi bien la possibihté d'une infinité de représentations distinctes que celle d'une infinité d'objets distincts : ses arguments portent également sur les deux cas, et, si parfois il parle d'objets, il doit être bien entendu que son expression doit ou peut du moins être interprétée au sens idéaliste. Cette remarque est importante et nous servira tout à l'heure.

Le même auteur est d'accord avec M. Russell pour considérer les objections contre l'infini numérique réalisé

(1) h'ssai sur les conditions et les limites de la certitude logique, p. 199.