CHAPITRE VIII

CRITIQUE DE l'iNFINI ET DU CONTINU

comme définitivement écartées par la définition adoptée pour les ensembles infinis : un ensemble est infini quand il est équivalent à une partie intégrante de luimême, c'est-à-dire quand on peut établir une correspondance univoque et réciproque entre la totalité de ses éléments et une partie seulement d'entre eux. Les exemples de tels ensembles abondent (tel l'ensemble formé par les nombres entiers qui peut être mis en correspondance univoque et réciproque soit avec l'ensemble des nombres pairs, soit avec celui des nombres carrés parfaits), et M. Couturat nous dit qu'on ne saurait trouver à leur réalisation aucune contradiction, puisque c'est précisément une propriété contenue dans leur définition ou plutôt une propriété qui constitue cette définition tout entière.

Nous ne prétendons pas trouver de contradiction dans la conception abstraite de tels ensembles, mais seulement dans leur réalisation. Si je rapproche de chaque entier successif le nombre pair de même rang, c'est-àdire son double, il est certain que jamais je ne serai arrêté dans cette opération, que, quel que soit un nombre donné, je puis toujours en rapprocher son double et que par suite l'ensemble des nombres entiers satisfait à la définition des ensembles infinis. Mais maintenant supposons réalisé cet ensemble dans tous ses éléments, représentés chacun par un disque, et réalisé aussi l'ensemble des nombres pairs représentés de même façon. Nous pouvons relier chacun de ces derniers disques et à l'élément de même rang et à l'élément représentant le même nombre, et, puisqu'il s'agit d'images ou d'objets, nous pouvons, pour préciser, dire que la première liaison est faite par une ficelle rouge, la seconde par une ficelle bleue. Or, en quelque région de l'ensemble des deux séries que nous nous placions, toujours un élément de la seconde série sera le point de départ d'une ficelle bleue et d'une ficelle rouge, mais les secondes extrémités de ces ficelles présenteront une singularité : tandis que les

ficelles rouges aboutiront à tous les disques de la première série, les ficelles bleues n'aboutiront qu'à un disque sur deux.

Les infinitistes reconnaissent que le fait serait contradictoire si les deux ensembles étaient finis : ils diraient même au besoin que cette contradiction est posée par définition ; mais ils affirment qu'un esprit assez puissant pourrait voir une double infinité de ficelles ainsi associées deux à deux à une de leurs extrémités et associées seulement de deux en deux à l'autre extrémité ; il verrait en même temps toutes les ficelles dans toute leur étendue et constaterait qu'il n'y a ni interruption ou fusion d'un côté, ni bifurcation de l'autre. Le mot « infini » est vraiment doué d'un merveilleux pouvoir.

On aura pu être choqué du caractère grossièrement sensible donné à notre argumentation : il était voulu, car il nous semble que parfois la démonstration du théorème de Galilée revêt une forme abstraite qui permet au lecteur de perdre de vue le caractère essentiellement concret de la négation de l'infini numérique réalisé. En parlant ainsi, nous avons particulièrement en vue les exposés dus à l'école de Renouvier \ exposés qui sont d'ailleurs bien loin de nous paraître à proprement parler défectueux, car ce sont eux qui nous ont converti au principe du nombre, mais qui nous semblent pouvoir prêter à une méconnaissance du caractère de la démonstration ^.

Cette négation de l'infinité concrète nous laisse l'esprit

(1) Voir notamment, dans Y Année philosophique (Ire année, 1890, p. 83j, un exposé dû à M. Pillon, ainsi que la Nouvelle Monadologie de Renouvier et Pral, p. 35.

(2) Nous signalerons une ré fui alion plus simple et peut-être non moins bonne de l'impossibilité d'une multitude infinie d'objets concrets, fondée par le P. Poulain sur la démonstration que, si une telle multitude existait, elle serait à la fois, et sous le même rapport, identique et non identique à une autre (voir ses très intéressants articles Dans le monde mathématique, publiés par les Etudes, notamment dans le numéro du 5 août 1897, p. 339 j.

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