CHAPITRE VIII

CRITIQUE DE L INFINI ET DU CONTINU

parfaitement libre dans Tétude de Tinfîni abstrait. On a le droit de parler de Tensemble des nombres entiers, car cet ensemble est clairement défini : nous savons, pour tout nombre donné, s'il appartient à cet ensemble ou ne lui appartient pas. Il en est de même de tous les ensembles infinis, au sens donné ci-dessus à ce mot, pourvu qu'on en donne une définition précise. Tout cela est parfaitement légitime et a servi de base à une science fort intéressante, dont nous parlerons un peu à l'occasion du continu.

Bien loin de nous gêner, cette théorie des ensembles infinis est plutôt faite pour nous venir en aide. Que disent en effet certains défenseurs de l'infinité quantitative, qui ne sont pas parmi les moindres, tels le cardinal Mercier et M. Milhaud ? Le premier reste en suspens comme saint Thomas d'Aquin, posant seulement ainsi le problème : « Le point en litige est de savoir si toute multitude ^^inomhrable ; s'il n'y a pas, au contraire, s'il ne peut y avoir une multitude qu'aucune mesure ne pourrait évaluer, aucune collection d'unités égaler * ». Quant à M. Milhaud, il déclare qu'un nombre infini abstrait est contradictoire et en conclut expressément « qu'un nombre infini d'objets ne peut se rencontrer dans le monde concret, qu'il ne saurait exister aucun ensemble d'éléments, aucune somme de parties dont le nombre soit infini », que, par suite, « le passé n'est pas la somme d'un nombre infini d'événements », que « l'univers n'est pas un nombre infini de corps distincts » ; mais il nie que les années antérieures à l'instant actuel, que les corps constituant l'univers constituent des collections.

Au cardinal Mercier nous répondrons : que veut dire qu'une multitude n'est pas nombrable, si cela ne signifie pas simplement que, si Ton attribue la suite des nombres

(1) Ontologie^ 3" édition, p. 396.

entiers * à ses éléments pris l'un après l'autre, on n'arrivera jamais à épuiser ceux-ci ? Eh ! bien, Cantor a précisément étudié ces ensembles, et il en a distingué deux classes, celle des ensembles dénombrables où, sans arriver jamais au terme, on peut atteindre un élément déterminé quelconque, et celle des ensembles non dénombrables qu'il est impossible de mettre sous la forme d'une suite simplement infinie. Le premier cas est précisément celui dont nous avons montré l'impossibilité au moyen de notre double série de disques et de ficelles ; quant au second, il se trouve éliminé par là même, puisqu'un ensemble non dénombrable se compose forcément d'un ensemble infini dénombrable plus quelque chose : la première partie étant impossible, le tout l'est forcément.

M. Milhaud, parlant des hommes qui habiteraient nimporte où dans V espace, dont chacun est donné, en ce sens qu'il existe et qu'il est distinct, nie qu'on puisse parler de leur totalité. Si l'on peut dire « tous les hommes », ce n'est que dans le sens de « tout homme », sans qu'il y ait aucunement idée de leur réunion en un tout, attendu que, si l'on veut dire qu'ils forment une collection, on doit ajouter que ce n'est « qu'une collection en puissance », bien que chaque élément soit en acte.

Voilà, semble-t-il, un bien singulier usage de la notion de la puissance. Qui dit qu'une chose est en puissance, en effet, dit qu'elle n'est pas actuellement, mais qu'elle peut devenir. Or, il s'agit ici d'une collection qui, essentiellement, ne peut venir à l'existence en acte, puisqu'elle impliquerait contradiction. Pour la pensée divine ellemême, la totalité des hommes ne saurait être envisagée ; elle connaît chacun d'eux, mais elle ne saurait les considérer comme formant un tout. Conception étrange entre

(1) On remarquera que, bien que cette suite soit infinie, aucun de SCS éléments ne l'est, ainsi que, comme le note Cantor, l'avait signalé saint Augustin : « Tous les nombres sont finis, et pourtant ils sont en nombre infini » {de Civitate Deiy XII, 18).