CHAPITRE VllI

CRITIQUE DE L INFINI ET DU CONTINU

toutes, qui, pour nous, n'est que l'aveu de Timpossibilité où Ton est de faire entrer dans la pensée l'idée d'une pluralité sans limite. Aussi, répéterons-nous, avec Renouvier : « Ou ces choses composent actuellement, toutes ensemble, un tout, ou elles ne composent pas un tout ; mais, si ces choses ne composent pas un tout, il est donc des choses qui sont et qu'on ne saurait considérer, sous le simple rapport de l'existence, conjointement avec d'autres choses qui sont. Cette conséquence est incompatible avec la représentation, donc ces choses composent un tout. Or, avec un tout donné, un nombre est toujours donné. Des choses qui sont, ou des parties quelconques de ces choses, formeront toujours des nombres, c'est-à-dire des nombres déterminés, différents de tous autres nombres. Sans cela, point de représentation, ni effective, ni possible, d'un tout^ »

En étudiant les diverses géométries, nous avons vu que les espaces d'Euclide et de Lobatchefsky sont infinis, que par conséquent ils contiennent un nombre infini de fois une unité de mesure quelconque. C'est dire que, pour nous, ils ne sont pas susceptibles d'une réalisation intégrale : leur infinité est purement idéale, et ils peuvent simplement s'étendre indéfiniment, tandis qu'un espace sphérique se referme sur lui même et est essentiellement fini. L'infinité des premiers ne constitue qu'une loi de développement. Voyons à quelles contradictions aboutissent ceux qui prétendent en faire une réelle infinité, et notons que c'est le principe de continuité qui les induit à accepter ces contradictions.

Deux droites dans un plan (euclidien) se coupent toujours, sauf dans le cas où elles sont parallèles ; or ce cas exceptionnel constitue une véritable discontinuité, puisque, pour toute position, si voisine qu'elle soit du parallélisme et de quelque côté qu'elle s'en écarte, on a une

(1) Traité de Logique générale et de Logique formelle, 2" édit., tome I. p. 40.

intersection : on admettra donc qu'il y en a une encore dans le cas du parallélisme, et une seule, bien qu'il semble plutôt y en avoir deux. « Si naturelle que paraisse cette présomption, dit M. Couturat, elle est erronée : les deux points en question, qui semblent séparés par l'espace entier et situés à une distance infinie l'un de l'autre, n'en font qu'un et coïncident rigoureusement. En effet, si les deux droites avaient deux points communs à l'infini (un dans chaque sens), cela serait contradictoire avec l'axiome caractéristique de la figne droite, qui lui sert de définition. Une ligne droite est entièrement déterminée quand on donne deux de ses points ; d'où ce corollaire immédiat : deux lignes droites qui ont deux points communs coïncident entièrement. On est donc obligé d'admettre qu'une droite n'a qu'un seul point situé à l'infini ; sans quoi l'on serait conduit à cette conséquence absurde, que toutes les droites parallèles coïncident entre elles » \

Ne semble-t-il pas qu'une telle argumentation a bien plutôt pour objet d'établir un système de propositions tout à fait générales à un point de vue purement formel, que d'énoncer les propriétés du réel ^ ? On trouve ainsi que toutes les droites parallèles ont un point commun unique à l'infini, et que l'ensemble des points répondant ainsi aux diverses directions ' est une ligne droite, la droite de l'infini.

Mais deux droites parallèles sont partout également distantes ; comment dès lors se fait-il qu'elles puissent

(1) De l'Infini Mathématique, p. 227.

(2) Avons-nous le droit d'écrire ce mot « réel » alors que M, Couturat est idéaliste ? Non d'une façon absolue ; mais, ou bien il parle de représentations possibles en principe, et alors l'argunientation est la même qu'à l'égai'd du réaliste le plus endurci, ou bien il ne s'agit que d'une conception irréalisable dans toute représentation, et alors nous sommes parfaitement d'accord.

(3) Ces divers points sont forcément distincts, sans quoi deux droites quelconques de directions différentes auraient deux points communs, dont un à l'infini, et coïncideraient.