CHAPITRE Vin

CRITIQUE DE L INFINI ET DU CONTINU

effectivement se rencontrer ? et n'y a-t-il pas contradiction à affirmer Yexistence de leur intersection, même quand on la rejette à l'infini, au sein duquel on a coutume d'opérer la conciliation des contradictoires ? Nous ne songeons point à contester l'utiUté de la considération des points à l'infini en géométrie, mais nous leur refusons l'existence et n'y voyons qu'une formule expressive, servant à désigner la limite d'un phénomène géométrique qui cesse d'exister.

Cette manière de voir se trouve confirmée par le fait suivant, que M. Couturat a tenu à signaler et à discuter. Nous venons de voir comment les points à l'infini du plan forment une droite ; or, quand on applique la méthode des rayons vecteurs réciproques, on considère tous les rayons issus d'un point comme aboutissant à un seul et même point, dit point à l'infini \ N'est-ce pas en contradiction formelle avec ce que nous venons de voir ? L'explication consiste à faire remarquer qu'on arrive à ces résultats différents par des voies différentes, la droite de l'infini répondant à la méthode homographique, tandis que c'est la méthode des rayons vecteurs réciproques qui conduit au point de linfini. Cette différence n'a rien qui puisse surprendre si nous ne voyons dans tout cela que deux processus géométriques tendant vers des limites différentes ; mais n'est-on pas en droit de dire qu'il y a contradiction véritable si droite et point de l'infini doivent être des réaUtés ? M. Couturat prétend échapper à la contradiction en disant que tout cela n'est pas, par sa nature même, susceptible de figure^ et que tous ces paradoxes tiennent au fond, à ce que l'infini est, comme l'a dit Delbœuf, une grandeur sans forme et, par là

(1) M. Couturat l'ait remarquer que toutes les droites ont ainsi deux points communs, ce qui n'est pas contraire à l'axiome de la ligne droite, vu que celui-ci ne vise que les points situés à distance finie. Nous le voulons bien; mais alors pourquoi ne voulait-on pas, tout à l'heure, que deuxdroiles distinctes eussent deux points communs, tous deux à l'intini ?

même, susceptible de prendre toutes les formes ; « ils viennent de ce qu'on essaie, illégitimement et en vain, de se représenter l'infini ».

Eh ! bien, nous le demandons, qu'est-ce que cette figure géométrique sans forme ; que cette chose qui n'est pas une réalité extérieure pour un idéaliste comme M. Couturat et qui, en même temps, n'est pas susceptible de représentation ? C'est le plus remarquable mélange de toutes les contradictions, à moins, encore une fois, que ce ne soit l'expression de la limite d'un phénomène qui cesse d'exister : le phénomène variant, la limite peut varier, et cela sans qu'il en résulte aucune contradiction.

Le principe du nombre nous avait fait voir a priori qu'on ne saurait admettre la réaHsation d'un nombre infini d'objets ou de représentations ; comme confirmation, la géométrie d'un espace infini, c'est-à-dire contenant un nombre infini d'unités de mesure d'ailleurs quelconques, nous a fait voir ensuite les contradictions auxquelles on arrive quand on prétend réaliser cette infinité de l'espace considéré. Nous allons maintenant étudier une autre application du principe du nombre, application très importante au point de vue philosophique, puisqu'elle vise la notion du continu, qui a joué un si grand rôle dans l'histoire de la pensée humaine et qui aujourd'hui constitue l'un des postulats fondamentaux des systèmes les plus en vogue.

La théorie des ensembles de George Cantor a singulièrement précisé la notion mathématique du continu, et nous pensons devoir donner quelques indications à ce sujet. Si Ton bornait cette notion à celle de divisibilité indéfinie, la simple dichotomie permettrait de définir le continu ; mais on sait depuis longtemps que l'on est bien loin d'obtenir par cette méthode toutes les divisions possibles, puisqu'on ne prend ainsi qu'une partie des nombres rationnels, en laissant en outre de côté tous les nombres irrationnels. Nous avons vu que les ensembles