GAL TS ES

J est le nombre des comètes visibles de vitesses inférieures à V qui se trouvent dans l'espace compris entre deux sphères de rayons r, r + 1 ayant le Soleil pour centre.

Il est à remarquer que la formule 57 s'applique seulement au cas V > A, qui est le cas général car À est extrèmement petit, si cependant on voulait prendre pour V une valeur inférieure à A, on aurait simplement

Ch Sa o(v) dv (58)

Conséquences des formules.

46. — Pour réduire en nombres les formules 56 et 57, il faudrait connaître la fonction e(v), or cette fonction est inconnue, on pourrait la chercher soit par des considérations théoriques soit au moyen des mouvements propres des étoiles, mais il paraît difficile

d'arriver à la trouver avec certitude. Supposons d'abord o{(v) cons-

tante pour v comprise entre zéro et une certaine limite U, nous retrouvons les résultats déjà obtenus au n° 10.

En effet, si dans la formule 57 on remplace A par sa valeur 50 et qu'on suppose que e(v) est une constante, que nous désignerons simplement pare, on retrouve la formule 40, la constante T est seulement remplacée par 27r°°. Nous avons vu n° 12 que la formule 40 est égale à la formule 37 multipliée par F, donc lorsqu'on suppose «(v) constante la formule 57 est égale à la formule 37 multipliée par 2rr°e: En faisant usage de la formule 57 nous serions donc conduits aux résultats donnés n° 10. La seule chose à ajouter est la recherche du nombre total des comètes visibles ; cette question n'est pas sans intérêt, car il ne suffit pas de prouver que le nombre des coméètes visibles à peu près paraboliques doit être très grand relativement au nombre des comètes visibles hyperboliques, il fautencore examiner si le nombre absolu de ces comèêtes paraboliques n'est pas très petit.

Soit N la valeur numérique de la formule 37 lorsqu'on y remplace v par U limite supérieure de toutes les vitesses. Puisque la formule 57 ne diffère de la formule 37 que‘ par le facteur 27°, en désignant par J, le nombre total des comètes visibles comprises entre deux sphères de rayons 7, r + 1 ayant leur centre an Soleil, | nous AvVONS : u

J3 = 2rrtoN (59) C:

Soit N, le nombre total des comètes dans l'unité de volume. F 2 U 34 NE = fedo = Uy (60) de donc :

Je 2m J : e MAC

En remplaçant la formule 37 par la formule approchée 38 on trouve : a ‘a

Le —, É : ce R &=|varser-n+r( D) |xS (61) à

La valeur numérique de la quantité entre crochets se déduit LA

sans peine des calculs du n° 10, et l’on obtient pour us selon ; Pa à que U est 1, 10, 100 fois la vitesse de la Terre dans son orbite, les “A __ valeurs suivantes : el + SU .

k aYe à | Re à U | N, Re CET

x À.) 66 9e QUT-NeneaR ei: bte ant nee + MAN 2 197402 TE :

100 tee ES TER hasta 4700

Avec les suppositions admises n° 10, le nombre des comèêtes sisi à bles renfermées entre les deux sphères de rayons r, r + 1 estdone % très considérable relativement au nombre total des comètes renfer-

él :

" vd

. ce ii Pour mées dans l'unité de a ere er QT AS de volume ner D et itmetit ia 2e

si =: a! n E

CR Ten

47. — Nous devons faire remarquer ici qu'on ne peut pas conclure des nombres du n° 10 que, dans hypothèse qui fait venir les comètes des espaces interstellaires, les orbites doivent presque toutes nous paraître paraboliques. Trois raisons s'opposent en effet à cette conclusion.

1° Les nombres obtenus ne s'appliquent qu'au cas où e{v) est une constante, supposition dont la vérité est incertaine.

2° Les calculs ne tiennent aucun compte du mouvement du Soleil dans l'espace.

3° Les nombres de comèêtes visibles sensiblement paraboliques et nettement hyperboliques que nous avons trouvés, sont les nombres de ces comètes très lom du Soleil et non dans son voisinage

La seule conclusion à tirer est la suivante : Si la fonction +(v) est constante, ies coméètes visibles hyperboliques sont trés rares relativement à celles dont les orbites différent peu de la parabole, dans les régions de l’espace très éloignées du Soleil ; et cela seulement si le Soleil est immcbile dans l'espace.

Si au lieu de supposer e(v) constante on fait sur cette fonction telle hypothèse que l'on voudra, la formule 56 on 57 donnera le nombre des orbites dont le grand axe a une valeur donnée, les résultats seront très différents selon les hypothèses. Il est à remarquer toutefois que puisque e(v) entre simplement en facteur dans chaque Clé— ment des intégrales des formules 56 et 57, et que lorsque 4(v) est constante les comètes hyperboliques sont très rares, ces comêtes ne pourront être nombreuses que si #(v) est beaucoup plus petite pour les très petites valeurs de v pour les valeurs un peu grandes ; mais il n’est pas prouvé qu'il n'en soit pas ainsi.

18. — Il ne sera pas inutile de citer une fonction o{(v) qui donne beaucoup d'orbites hyperboliques ; nous pourrions facilement en trouver un grand nombre, mais afin de faire une hypothèse simple, nous supposerons que les vitesses sont encore comprises entre zéro et une limite U, et que les extrémités des droites qui lés représentent

en \ : A L'ORE e

sont également réparties dans l'espace, étant en nombres égaux dans des volumes égaux, alors il est facile de voir que

o(v) = Mo? (62)

M étant une constante.

On pourrait objecter que cette loi qui suppose que le nombre des vitesses augmente jusqu'à la limite U et ensuite devient nul n'est pas probable, mais on obtient une loi plausible en supposant qu'après avoir suivi à peu pres la loi représentée par la formule 62, le nombre des vitesses diminue ensuite suivant une autre loi quelconque lorsque v dépasse U; et comme toutes les vitesses supérieures à U correspondent à des orbites hyperboliques, en les négligeant nous ne pouvons que diminuer le nombre des orbites hyperboliques.

Supposons donc o{v) — Mr, la formule 57 devient

V \ÿ e è it J—?rr°M | v°do — 9rr°M V1 — 2 \/: — A? vdv Fe D) A les intégrations s'effectuent sans difficulté : ETES Ê 2 ë J=$ M vi — \/1— L (ve — a) (63)

Pour les calculs numériques on est encore obligé de faire un développement en série, on a à cet eflet :

Ê 3 3 rt (ERA EE SR SAS +- Éinregess 2) t.9%. 1 gt PP A to MÉT et en multipliant membre à membre :

a En az ve 3 av 1% vs and: À — A)? — 734 VAS Ho. (64)

r EL

LS — Si nous gardons les trois termes écrits, en remarquant que A2 ( :

renferme -; en facteur, nous voyons que le rapport des termes

négligés aux termes conservés renferme au moins le carré de Le à Lorsque V est la vitesse parabolique VE le rapport des termes :

DETRe sie [l négligés au second terme —: AV renferme encore 7: at Moins.

En développant A? de la manière suivante

la formule 64 devient

: 3 3 3/q LU J q 9 DRE et NS MR Rues HNTS V! Er ES 2 EM CE on) Dans cette formuie le rapport des termes négligés au terme 3 \ 2e À 1 — 2 v renferme au moins la première puissance de =, et cela

même lorsque V est la vitesse parabolique à la distance 7. La formule 63 devient maintenant (!) :

J= +9M E FA dE” : AD (66) Tel est, dans l'hypothèse que 20) est représentée par la formule 62, le nombre des comèêtes visibles dont les vitesses sont

inférieures à V qui se trouvent entre deux sphères de rayons r,r + 1 ayant le Soleil pour centre.