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de sorte que la limite U est le double de la vitesse moyenne. Si l'on suppose que e{x) — Me? (no IS) la vitesse moyenne est

U fox Metdv d cé à SA MES LR Us | fu do

la limite U est donc alors les : de la vitesse moyenne.

Examinons maintenant les connaissances acquises jusqu'ici sur le mouvement du Soleil. L'accord des résultats obtenus par différents astronomes, au moyen d'étoiles différentes les unes boréales les autres australes, montre que le Soleil se meut certainement à travers les espaces stellaires avec un mouvement qui lui est propre. Les déterminations des coordonnées du point de la sphère céleste vers 306° pour les ascensions droites, de + 22 à + 44° pour les déeli- V2 rs | $ RAR RES à:

es Es

ts ;

(1) Nous appelerons ce point « apex » du Soleil, et le point oppo « antiapex ». a ns su CT

re . ru

ré rs

naisons ('), résultat (rès satisfaisant pour une recherche aussi délicate. De l'ensemble de ces déterminations, on peut déduire pour les coordonnées de l’apex du Soleil, rapportées à l'équinoxe du milieu du dix-nenuvième siècle :

Il nous sera utile de connaître la position de ce point par rapport à l'écliptique, comme l'ascension droite est voisine de 300° et que la position du point en question n'est connue qu’approximativement, il suffit de conserver l’ascension droite pour valeur de la longitude et d'ajouter l'obliquité de l'écliptique (26°) à la déclinaison pour avoir la latitude, nous trouvons ainsi pour coordonnées écliptiques de l'apex du Soleil :

Longitude — 294° Latitude — + 59°

Il serait très important pour nos recherches de connaître la vitesse du mouvement propre du Soleil, mais cette quantité est très difficile à déterminer parce que la distance des étoiles nous est inconnue. 0. Struve a trouvé que la valeur angulaire du mouvement du Soleil vu de la distance moyenne des étoiles de première grandeur (perpendiculairement au rayon visuel) doitêtre 09,000 105 par an, M. Dunkin a trouvé plus tard la valeur très peu différente 02,000 145, mais avant lui Airy (?) avait obtenu 0°,000 491 valeur beaucoup plus forte. Toutefois comme les calculs d’Airy sont basés seulement sur 113 étoiles animées de forts mouvements propres, on peut penser que ces étoiles sont plus rapprochées de nous que ne

(4) Je fais abstraction des déterminations antérieures à l’année 1841, voir le Vade mecum de l'Astronome, par HOUZEAU, p. 393.

(2) O. SrRuvE. — Astronomische Nachrichten, t. XXL, p. 65.

AIRY. — Memoëirs of the Royal astronomical Society, t. XXVIII.

DUNKIN. — NE IER DST

Les nombres que je cite pour la vitesse du Soleil sont les moyennes des deux déterminations de chaque auteur.

Voir aussi les récents résultats de M. Porter et de M. VOGEL, Bulletin astronomique, t. x, p. 215 et p. 308.

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l'indique leurs grandeurs (')}, et par conséquent que la valeur déduite pour le mouvement du Soleil vu d'une étoile de première grandeur est trop forte. Les résultats de Struve sont basés sur 392 étoiles, ceux de M. Dunkin snr 1167 étoiles, nombre considérable.

Pour déduire la vitesse du Soleil de son mouvement angulaire vu des étoiles de première grandeur, il faudrait connaître la distance de ces étoiles ; O. Struve en leur supposant une parallaxe de 0°,000 068 en moyenne déduit pour le mouvement annuel du Soleil 1,54 rayon de l'orbite terrestre par an, ce qui donne pour la vitesse du Soleil en prenant pour unité la vitesse de la Terre dans son orbite : |

Comme je l'ai dit à propos des mouvements des étoiles, la valeur de la parallaxe admise par Struve paraît trop forte, le mouvement du Soleil serait donc plus rapide qu'il ne l’a supposé. En admettant pour le mouvement angulaire la valeur de M. Dunkin et pour la parallaxe moyenne des étoiles de première grandeur 0°,000 030 valeur très admissible, on trouve pour vitesse du Soleil :

Ze X 0,000 080 — 61

Enfin avec la valeur du mouvement angulaire obtenue par Airy on arriverait à une vitesse très supérieure.

La valeur de la vitesse du Soleil obtenue par Siruve paraît donc plutôt trop faible que trop forte, mais pour qu'on ne puisse pas objecter que j’augmente arbitrairement cette vitesse, lorsque je voudrais donner des exemples numériques j'emploierai cette valeur, qui est juste le quart de la vitesse de la Terre dans son orbite.

(1) Voir à ce sujet la note de M. PROCTOR, dans les Monthly Notices, t. xxx, He 16e :

Aprés cette digression sur les mouvements des corps célestes,

, revenons aux cométes, et puisque le Soleil est en mouvement, tenons compte de cette circonstance.

21. — Désignons par A la vitesse absolue d’une comète placée au point C, soit CE (fig. 4) la droite qui la représente et CD la droite = qui représente la vitesse du Soleil H transportée au

4 1 point C. Il est facile de voir que la vitesse vw de la

# comète relativement an Soleil est représentée par la

H° droite DE. Il en résulte que la condition pour que la

Û comète placée en G vienne passer à nne distance

r (e du Soleil inférieure à g est que l'extrémité E de sa L vitesse absolue soit à l'intérieur de l'hyperboloïde

que nous avons considéré n° 13, mais transporté parallèlement à lui-même de façon que son centre soit au point D.

Cherchons parmi ces comêtes quelles sont celles dont la vitesse relative initiale est entre des limites données. Du point D comme centre avec les rayons vw et w + du décrivons deux sphères qui détachent dans la mottié de l’hyperboloïde tournée vers le Soleil le volume MN M'N' (fig. 5), pour avoir le nombre des comètes visi-

bles placées en G dont la vitesse relativement

au Soleil est entre v et vw + dv, il faut chercher

KR le nombre des comèétes placées en C dont

: N'Prr l'extrémité de la vitesse tombe dans le volume ! MNM'N'’. Ce volume est infiniment petit; c lorsque la distance au Soleil r est une distance

Fig. 5 finie sa dimension dans le sens perpendiculaire

à l'axe de l'hyperboloïde n'est pas infiniment petite, mais d'après ce

| que nous avons dit n° 13 elle est extrêmement petite et elle devient

infiniment petite si r est regardé comme augmentant indéfiniment.

Nous pouvons donc regarder le volume MN M°N' comme infiniment

petit dans tous les sens, et en appelant D la distance du point M à Vaxe de l'hyperboloïde sa valeur est

rl dv

La valeur de b a déjà été calculée n° 14, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, ce qui permet de prenare pour les axes de l'hyperboloïde les valeurs 52, on trouve

»? = rbdv = eur (1 + Le) do (GS) :

Représentons par #(4)4h 1e nombre des comèêtes qui sont placées dans l'unité de volume autour du point G et qui ont leurs vitesses absolues comprises entre 2 et } + dh. Les extrémités de ces vitesses (supposées transportées en C) sont toutes à l'intérieur de l'espace compris entre deux sphères de rayons A et } + dh décrites du point G comme centre, le volume de cet espace est 4r°dh. Nous admettons que ces vitesses sont réparties également dans toutes les directions. Donc, si nous considérons un volume infiniment petit quelconque, dont nous représenterons la valeur par &, situë à la distance 2 du point G, le nombre des comètes placées dans l'unité de volume autour du point G et dont les extrémités des vitesses (transportées en C) tombent dans ce volume est :

h AAA Xe © EU

En représentant par À le nombre des comètes pour lesquelles l'extrémité de la vitesse tombe dans le volume infiniment petit M-N MN, dont la valeur est donnée par la formule 68, nous avons done :

=) LE (1 + 9) do cu)

Cette expression est égale au nombre des comêtes visibles placées

dans l’unité de volume autour du point G et dont la vitesse relative

au Soleil est entre v et v + dv. " Pour avoir le nombre des comêtes visiblestplacées dans l'un M:

volume autour du point Get dont la vitesse relative 5 entre z4

et V, il faut intégrer l'expression 69 de v—0 à v— V, en regar-

dant À comme une fonction de v, donnée par M ne ;

qui se déduit sans peine‘du triangle formé par v, k, H (fig. 4)

= BR = v? — 20H cosa + H° (70)

à H est la vitesse du Soleil, et à l'angle de cette vitesse avec la

droite qui va du Soleil au point C, droite à laquelle l’axe de l'hyper- | boloïde est parallèle. | 1

e.. Donc en désignant comme au n° 15 par I’ le nombre des comètes ê | visibles dont la vitesse relative est inférieure à V qui se trouvent ET: dans l’unité de volume autour du point C, nous avons :

ET CEE CoSx + I) X de (11) : (a)

v? — 20H cosa + H?

pour simplifier l'écriture nous poserons

| = er ,a) = y (= 20H ose FR) X cos LIN TE (72)

la formule 71 s'écrit alors plus simpleinent fa VE fie,s)de (73)

+ Cherchons maintenant le nombre des comètes visibles de vitesses 25 relatives inférieures à V qui sont dans l’espace compris entre deux sphères de rayons r, r + dr ayant le Soleil pour centre. Pour cela considérons d'abord le volume annulaire limité par ces deux sphères

et deux cônes de révolution ayant leur sommet au Soleil, la vitesse

du Soleil pour axe et pour génératrices les directions « et « + do. Tous les points de ce volume étant dans les mêmes conditions, le nombre des comètes visibles dont les vitesses relatives sont infé- rieures à LE qui se tronvent dans ce volume annulaire, s'obtient pet multipliant l'expression 73 par sa valeur, far sins dr da, ce qui

| donne: 7. à

| = r/q Sin dr da [tte a)do a

ROUE Er LE > % et an US Te

Pour avoir le nombre des comètes visibles de vitesses relatives inférieures à V qui se trouvent entre deux sphères de rayons r,r + drayant le Soleil pour centre, il faut intégrer cette expres-

sion de «— 0 à a — #7. En appelant, comme au n° 15, ce nombre

Jdr, nous avons donc :

= ch | (Je dv |) Sins da (19) O0

la fonction f{v, «) est donnée par la formule 72.

22. — La formule 75 donnera la valeur de J lorsque la fonction o(h) sera connue, mais il faudra faire attention de bien donner à e (1%? — 20H cos à + HE), dans la formule 72, la valeur que prend e(k) pour À = V5 ZH cos x FI, et à ce sujet nous devons faire une remarque pour le cas où, comme nous l'avons fait précédemment, on suppose que (k) est constante pour les valeurs de 2 comprises entre zéro et une limite U et nulle au-delà, ou plus généralement que pour les valeurs de À comprises entre o et U e{) est représentée par une fonction donnée et est nulle au-delà. Dans ce cas, on pourrait en effet remplacer e( 1/2? — 20H cos x E H°) par la fonction donnée, effectuer les intégrations d'après les règles du calcul intégral et substituer ensuite à V des valeurs numériques, mais ce procédé ne peut être appliqué que si LV”? — 26H cos x E IP est toujours inférieur à la limite U, ce qui n'a lieu que si V est inférieure à U—H.

Supposons V comprise entre U -— H et U + H (nous admettons d’abord U > H). Du point GO comme centre avec le rayon U et du point D avec le rayon V décrivons deux sphères (/ig. 6). Soit I l'un des points d'intersection de ces deux sphères, dans les formules 72 et 7%, tant que est inférieur à l'angle CDI, que nous appelons «,, la fonction & est représentée par la fonction considérée pour v < V. Mais lorsque + dépasse «,, comme pour v — V la vitesse absolue k= Vu 2H cos x F IE dépasse la limite U, la fonction + n'est

XL … re PL

Fig. 6

plus représentée toujours par la fonction donnée, car elle est nulle pour les valeurs de V7 720 008 2 + qui dépassent U. Sur la figure 6, Vaxe de Vhyperboloïde étant alors dirigé suivant une ligne telle que DY', la fonction 4 n'est représentée par la fonction considérés que si extrémité de la vitesse est entre D et G, elle est nulle

si celle extrémité est entre G et T°.

Dans le cas où V estentre U — H ct U + H nous devons donc diviser \'intégration de la formule 75 en deux parties, La pre-

__ mére partie s'élend de 4—0 à 5=0,, 9, étant donné par

VE — 2VH c08 2, + H° — U (36)

A de x jour malle meurs

dr.

"à La seconde partie de l'intégration s'étend de 2 — 2, à #—7, et

ne rest TER |

D 2 oo a+ EE

cette équation donne pour / denx valeurs, on voit sur la figure 6 d

que c’est la valeur positive qui convient, / est donc donnée par

= H cosa + VU? — H° sina (77)

Dans le eas considéré la formule 75 devient donc

&i y T ; | À | (Pis a) Sina da + sn | ( fine) SiDa dax (78) É- : 0 ; 7 ° :

Le cas V — U + H se présente pour obtenir le nombre total des comèêtes visibles (!), on a alors «, — 0 et la formule 78 devient

d l Le | ( ci tea) sina da (79) [] [e]

Si V dépasse U + H, aux valeurs de v supérieures à U + H ne correspondent jamais de comêtes visibles pour aucune valeur de à, de sorte que le nombre des comètes visibles dont les vitesses sont inférieures à V est égal au nombre total et par conséquent donné encore par la formule 79.

23. — Il faut maintenant examiner le cas où, e(2) étant encore représentée par une fonction donnée jusqu'à À — U et nulle ensuite, H serait supérieure à U, la figure 6 est alors remplacée par la figure 7. Nous désignerons encore l'angle CDI para,, et menant du point D une tangente DT à | la sphère de rayon U nous désignerons ie. , Fig. 7 l'angle GDT REG us Posons en NE TA

= ne.

(1) Nous représentons le nombre total des comètes visibles conformes entre les | “deux sphères de rayons », » + dr par Jedr. ET

® AIT a nie