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se mouvoir dans ces espaces, pour toutes les valeurs de « supérieures à l'angle CDT il n'y aurait aucune comète visible, il s'ensuit que toutes les comètes nous viendraient des points de l'espace situés dans une calotte de la sphère céleste et que de tous les autres points il n'en viendrait aucune.

24. — La méthode que nous avons employée n° 21 et qui nous a conduits à la formule 75 est la plus directe, mais on peut remplacer cette formule par une autre qui ne renferme qu'une seule intégration et qui lorsqu'on limite les vitesses à la valeur U r’exige pas l'emploi des formules compliquées des n° 22 et 23. Pour cela remarquons

d’abord que la formule 75 ne renferme pas 7, donc le nombre J est

indépendant de 7, pourvu que cette distance soit grande, et pour obtenir J par n'importe quelle méthode nous pouvons supposer la distance r infiniment grande.

Cela posé, commençons par considérer seulement les comètes pour lesquelles la vitesse absolue À est comprise entre deux valeurs infiniment voisines À et À + dh, le nombre de ces comêtes quise trouvent dans l'unité de volume étant toujours représenté par e(k)dh ; et faisons abstraction pour un instant de toutes les autres comètes. Sur la figure 8, CD est encore la vitesse du Soleil transportée en C, le cercle de centre CG représente la section par le plan de la figure de l'espace compris (!) entre deux sphères de rayons À, k + dh, la ligne droite DG représente l'hyperboloïde avec la direction qu'il a pour le point C, c’est-à-dire que l'angle GDG est égal à l'angle + que fait la vitesse du Soleil avec la droite qui va du Soleil au point C.

Fig. 8 L'hyperboloïde découpe dans l’espace com-

(4) Pour ne pas compliquer la figure, je représente cette section infiniment mince par une simple ligne, et je fais de même pour l'hyperboloïde. . |

pris entre les syhbres de rayon h À Le + dh, an point G, un pehit suisse que sons allons évaluer, : désigsant la sÂm droite de l'as perhiine 20 point G, À la litre G désignant dans les forsles Vongie (ND, ce vhusse ets à

Pa cd Tue

Dans le cas de la bgnre 5, l'ange G ant hÂus laut prendre le signe —, ss lorsque G cit sign À fat prendre le signe + afin que Ma valer de roue consihéré sh niÿnrs gosiiise.

Les estrésaités des vilenses des conséhes que nrss eonsilérons ji sons réganôues dns le vue 4 dh, cnnyrie entre deux sphères derayons h À h + dh, Ales sont uailorménent réyanÂses dans vase, garce que mous 2ssehinns que les vilesses sont égale sent réparies dans fomtes Les direions, Les conéhes visibles parmi ces coéhes soi cÂles qui où les extrémités de leurs met leur norsbre dans l'anité de

es le ax S EX ou EX EX EE de (85) | Deus odte forsile 008 G doit dire pris où vieu shoise. En

Aqnont que v à longuenr DC, qui est La ritensé (°) relativement | (es She des comites villes pacies ce C, le triangle CGD nous

H=k-1ho%G+"

ne

CE ee fous 5 éc=; é

et la formule 83 devient

. e H? — F — vÀ F1 | (84)

Cette expression devant toujours être positive, on prendra la quantité H?— }?— »? en valeur absolue.

La formule 84 joue le même rôle que la formule 69 du n° 21, mais ici les vitesses absolues étant toutes entre L et h + dh, les vitesses relatives des comètes visibles ont pour chaque point de l'espace une 4 valeur unique, ou plutôt des valeurs infiniment peu différentes. Si : maintenant nous voulons trouver le nombre Jdr des comètes visi- "3 bles renfermées entre deux sphères de rayonr etr + dr, et pour lesquelles les vitesses relatives sont inférieures à une quantité donnée . Tr V, il faut suivre la même marche qu'au n° 21 pour passer de la : * = formule 69 à la formule 75, c'est-à-dire qu'il faut multiplier la formule 84 par 27° sine drda et intégrer ensuite par rapport à la variable « seule, car ici #(k), k et dh sont des constantes. Pour cette intégration il ne faut pas oublier que v et + sont des fonctions de x, de plus il faut choisir convenablement les limites de l'intégration. Laissant de coté pour un instant le choix de ces limites, | m nous pouvons dire que la quantité J, lorsque les vitesses absolues sont toutes entre deux valeurs infiniment voisines et À + dh, est:

vs

à 5 ah X EX 8° fr Sinx dx : (83)

H — 2 — v° doit être pris en valeur absolue, s et v sont des fonc— tions de «, et les limites de l'intégration doivent être convenablement choisies. | . ——…

Faisons un changement de variable, en prenant pour variable # au lieu de +, ces deux quantités sont liées par l'équation è

v?— QoH CoSa + Héss 4}

d'où coin RS ES 2v

la formule 85 devient

De dh X 3 g D: Tue do | (86)

La valeur de & en fonction.de v, qui s'obtient sans peine au moyen , de la quantité D (n° 21) est

Le 5 = rh — En (1 + 1 1) A , . Ê 2 0 et la formule 86 devient | dh X e x rfg | (+ g) e (87)

Pour trouver les limites de l'intégration reportons nous à la for mule 85 dans laquelle la variable indépendante est «. Supposons d’abord À inférieure à H, ce quiest le cas de la figure 8 ; si V est inférieure à la longueur de la tangente menée du point D à la sphère de rayon h, l'intégration doit partir de «—0o et aller jusqu'à la ne. valeur de « pour laquelle » atteint la valeur V, donc par rapport à la variable v l'intégration va de H — À à V. Si V est supérieure à la tangente menée du point D à la sphère dn rayon k, à certaines valeurs de « correspondent deux points tels que G, les deux éléments correspondants de l'intégrale de la formule 85 sont exprimés par

d Do ; d ; L | Fed cp AUS pt SiNa da

mais © et s n'ont pas les mêmes valeurs pour tous les deux, de plus il faut prendre chacun d'eux en valenr absolue. Lorsque nous avons pris w pour variable ces éléments sont devenus 9 ‘ 3en

expression qui est positive à la seule condition que du soit PAR” ra en résulte que dans la formule 87 on doit prendre pour limites de l'intégration H—h et V.

. Dans le cas Rae Ja ARTE FE Je —e? est négative, il faut PRES Eee Es r ‘ | eur Pie x =: , ri 7 : NAT ET le L ‘ ans La à LM