A + LT ‘Æ

- fe

donc la faire précéder du signe — dans la formule 85, mais au lieu de cela nous pouvons faire décroître « à partir de = 27 jusqu’à la valeur qui correspond à v = V, dès lors dans la formule 87 il faut prendre comme limites de l'intégration À — H et V.

On voit que dans tous les cas les limites de l'intégration de la formule 87 sont la quantité H — X prise en valeur absolue et V, si V était inférieure à H-- 2 (en valeur absolue) l'expression 87 devrait être prise égale à zéro, enfin si V atteint ou surpasse H + Z on voit sans peine sur la figure 8 que pour limite supérieure de l'intégration il faut prendre non plus V mais H + A.

L'intégration de la formule 87 se fait maintenant sans difficulté et nous donne :

a) | | L ah X EE X faq | Lot re ER

nous désignerons cette expression par f(k)dh, le signe + disparait dans &, dans le logarithme on le fait disparaître aussi en remplaçant

Lv par 5 Lr?, nous avons donc dans tous les cas:

/ Il

| fi ne AO D x ÉRIC x)

er | dh (88)

Si V surpasse H + X il faut remplacer cette expression par la suivante, que nous désignons par f,()dA :

then EC Lay ns y} ur) dh (89)

Dans le cas où toutes les vitesses absolues sont comprises entre deux valeurs infiniment voisines , 4 + dh, ces expressions 88 et 89 multipliées par dr donnent le nombre des comètes visibles dont la vitesse relativement au Soleil est inférieure à V et qui sont placées entre deux sphères de rayons 7, r + dr ayant le Soleil pour

centre (‘). On doit faire usage de la formule 88 ou 89 selon que V est inférieure ou supérieure à H + , et lorsque V est inférieure à H— }, en valeur absolue, le nombre en question est nul. Maintenant au lieu de considérer seulement les vitesses absolues comprises entre et h + dh, considérons toutes les valeurs de la vitesse absolue, et représentons toujours par Jdr le nombre des comêtes visibles dont les vitesses relatives sont inférieures à V et qui sont entre deux sphères de rayons r, r + dr; les formules 88 ou 89 donnent la différentielle de J considéré comme fonction de , la valeur de cette diflérentielle suivant les cas peut donc être résumée dans le tableau suivant :

V < +t(H—}) ZéTO +H—}h)<V<(H+}/) f,(A)dh V>(H+) (2) dh

Pour obtenir J nous n'avons qu'à intégrer sa différentielle, la seule difficulté consiste a bien prendre pour chaque valeur de 2 la valeur convenable de la différentielle.

Nous distinguerons deux cas (?) :

1° V <H, dans ce cas V sera toujours inférieure à H + , il n’y aura donc Jamais à faire usage de la formule 89. Tant que À < H—V la quantité V est inférieure à H— et la différentielle de J est nulle, lorsque z est entre H— V et H+V cette différentielle est donnée par la formule 88, et enfin lorsque 2 dépasse H + V la quantité V est inférieure à À —H et la différentielle est encore nulle, nous avons donc

H+V = je (A) dh (90) H—V

(1) On pourrait obtenir aussi ces expressions en différentiant par rapport à U les formules des n°s 22 et 23, mais comme les limites des intégrales varient, cette méthode ne serait pas plus simple que celle que nous donnons.

(2) Pour les considérations qui suivent, on peut s’aider de figures analogues à la figure 8.

2 V>H, tant que À < V—H la quantité V est supérieure à H-+A et la différentielle de J est donnée par la formule 89. Lorsque k est entre V —H et V + H il faudra, comme dans le premier cas, à faire usage de la formule 88, enfin lorsque ! dépasse V + H, V de- 4 vient inférieure à À —H et la différentielle de J est nulle; donc > lorsque V > H, J est donné par la es

+ VH V+H

ie ae (k)dh (91) 4

Le Remarquons que

3 | if f,(h)dh — f' “on

car si dans la formule S8 nous changeons À en — A, et posons e(-h) = ph), elle devient

se r/Q p[-5Lv— D + EL CU ne + LED]

expression qui ajoutée à la formule 88 non changée donne la for- +" mule 89. |

Il s'ensuit que la formule 90 convient à tous les cas, à la condition que nous regardions &(-) comme égale à e().

Nous devons encore chercher le nombre total des comètes visibles > renfermées entre deux sphères de rayons 7, r + dr, ce nombre a été désigné par J, dr ; la différentielle de J, est donnée par la formule S9, il suffit donc d'intégrer cette formule, comme limite inférieure on doit prendre zéro et pour limite supérieure on peut prendre soit la limite supérieure des vitesses absolues, soit l'infini, paisqu'au-delà dela limite supérieure des vitesses les éléments de l'intégrale deviennent Fe? |

tous nuls, la fonction #{(X) devenant nulle, nous avons done sh

sf Pie J RO