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Les formules 90 et 92 sont plus simples que la formule 95, car elles ne renferment qu'une seule intégration. De plus la variable étant k, la difficulté que nous avons signalée n°22 et 23 est ici 4 facile à résoudre ; lorsque &(.) est représentée par une fonction r donnée jusqu à une limite U et nulle ensuite, il suffit de donner à f(2) et f(2) la valeur zéro quand À dépasse U. Par conséquent À dans le cas U > H si H + V dépasse U, c'est-à-dire si V>U—H il faudra dans la formule 90 prendre U pour limite supérieure de l’intégration au lieu de H + V. Si la limite inférieure H —V est positive | elle est forcément inférieure à U; si elle est négative et supérieure ke en valeur absolue à U, c'est-à-dire si V > U + H, il faudra la rem- | placer par — U, comme alors on a aussi V > U—H les limites de Re p l'intégration sont —U et + U et le nombre donné par la formule 90 ; est le nombre total des comètes visibles, il est en effet le même que celui donné par la formule 92 avec o et U pour limites. On voit donc que dans le cas U > H la formule 90 devra être appliquée sans changements si V <U —H, si V est entre U— H et U + H il faut prendre U pour limite supérieure, si V > U + H il faut prendrepour limites —U et + U.

Dans le cas U < H on a toujours H + V > U, on doit donc arrêter l'intégration à la limite U. Si H —V est négative et supérieure en valeur absolue à U, c'est-à-dire si V > U + H, il faut prendre — U pour limite inférieure. Enfin si H— V est positive et supérieure à U, c'est-à-dire si V <H—U, le nombre J est nul. Donc dans le cas : U<H, si V <H—U J est nul, si V est entre H —U et H+U il faut prendre U pour limite supérieure, si V > H + U il faut prendre pour limites — U et + U.

Dans la formule 92 il suffit de prendre U pour limite supérieure.

Conséquences des formules lorsqu'on tient compte du mouvement du Soleil.

95. — Nous voyons d'abord que J ne dépend pas der, ce qu’on peut exprimeren disant que de toutes les distances il nous vient le

( « Û Ne IEEE EE 4 2 04 Le

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même nombre de comètes dont le grand axe est inférieur à une quantité donnée, et par conséquent aussi le même nombre total cos comètes.

Les formules nous apprennent ensuite que, quelle que soit la fonction e(k),le nombre des cométes elliptiques est nul, ou plutôt infiniment petit, relativement à celui des comètes hyperboliques. En effet pour avoir le nombre des comêtes visibles elliptiques il faut, dans la formule 75, prendre V égale à la vitesse parabolique à la distance r, cette vitesse est extrêmement petite et tend vers zéro lorsque r augmente indéfiniment. La limite supérieure de* la première intégration à effectuer dans la formule 75 étant alors infini-. ment voisine de la limite inférieure zéro, la valeur de l'intégrale is est infiniment voisine de zéro (!), et à la seconde intégration tous les ; éléments étant nuls on trouve pour J une valeur nulle.

Cependant avec les formules qui ne tenaient pas compte du mou- ë vement du Soleil, cette diminution de la limite V de l'intégration, n'entraînait pas toujours pour l'intégrale une valeur très petite, mais c'est parce que si l’on suppose la vitesse du Soleil nulle et la fonction o() ES De relative à vw dansla FRS 75

devient l r il 2 4%) Î (+2) do J le terme -; donne par l'intégration = quantité qui pour v — 0 ="

est re “ y a donc alors une isconfinuité qui nexiste plus lorsque v? est remplacé par v° — 20H cos a + IP.

La formule 90 du n° 24 nous conduit aussi au même résultat, une pete difficulté se présente parce que f,(2) est infinie pour 4 z sé h—H, mais elle est facile à résoudre. Lorsque V tend vers zéro

(1) Cette valeur lorsque V est infiniment petite se réduit à la dérivée pour. le. cas V — 0 multipliée par V, c’est à dire à NV.

les limites H — V et H + V tendent l'une et l'autre vers H, en examinant la valeur de f,(L) (formule 88) nous voyons que les

NA 2 deux termes Dr et ET tendent vers zèro avec V, suppri-

mant ces termes la formule 90 devient

= LL ve — LH — 2} | di

Hey

lorsque V tend vers zéro 2 ne varie plus qu'entre des limites infinimeut peu différentes de H, de sorte que Ho qui ne varie pas brusquement pour ! —H peut être traité comme une constante et retiré du signe d'intégration. La valeur de J devient alors