ET TL

cette nt tend vers zéro en même temps que V.

Mais si l’on suppose que la vitesse du Soleil H est nulle, 4 tendant

alors vérs zéro avec V, la quantité ne peut plus être traitée

| comme une constante, et J n'est pas rot trés petit pour Le très petites valeurs de V.

un autre côté le volume de l'hyperboloïde qui correspond aux

È on elliptiques étant limité par une sphère de rayon V+ TM | extrèmemen ent petit relativement à celui qui correspond aux orbites

… hyperboliques, et les vitesses absolues qui correspondent à ces deux FRE d'orbites ae du même ordre de ere on voit donc

NE == * — ré? { à nt e . (ri 6€" : ù s ’ on

y ’ 24 =uv+o * pu = —h) LH RP+O

ss TUE.

évidemment que lorsqu'on tient compte du mouvement du Soleil les orbites, à part des exceptions extrêmement rares, seront toutes des hyperboles, et cela quelle que soit la fonction &(/).

Ce résultat est tout opposé à celui obtenu n° 10 pour le cas où la vitesse du Soleil est nulle. On peut se rendre compte par un raisonnement géométrique de la raison pour laquelle dans ce cas les orbites hyperboliques peuvent être rares. Si l'on suppose la vitesse du Soleil nulle l'hyperboloïde a son centre au point G, lorsque les vitesses sont extrêmement petites cet hyperboloïde bien que très effilé en prend dans son intérieur une fraction très sensible du nombre total, la totalité même lorsque les vitesses sont plus petites que son axe réel ; lorsque les vitesses sont grandes au contraire, l'hyperboloïde n'en prend dans son intérieur qu'une fraction extrêmement petite dn total. Gette circonstance peut compenser la petitesse du volume qui correspond aux orbites elliptiques. Evidemment rien de semblable n'a lieu lorsqu'on tient compte du mouvement du Soleil.

Pour résumer, nous voyons que si le Soleil est en mouvement dans l’espace, ce mouvement fût-il même faisle, et que les comètes nous viennent des espaces interstellaires, ces astres doivent tous décrire des hyperboles. Quant à savoir si ces hyperboles diffèrent plus où moins de la parabole, cela dépend de la vitesse plus ou moins grande du Soleil et de la fonction #{2). Nous allons donc maintenant faire des hypothèses sur cette fonction.

26. — Cherchons le nombre des comètes visibles sensiblement byperboliques lorsqu'on admet la supposition, faite aux n°° 10 et 16, que les vitesses sont comprises entre zéro et une limite U et que la fonction #(/) est une constante dans cet intervalle. Dans ce cas la formule 90 qui donne le nombre des comèêtes visibles dont la vitesse est inférieure à V devient :

H+V y — re Es gV'gH—x) ZLH—2)],, me :: h U2fr CF SE h

EN À: re

les trois premiers termes s'intégrent sans difficulté et nous trouvons (!) :

H + V 2H Là s | AVi— 24 H+ V\? gHV EE = %) J m'elr Us 4 de L( î Cr ) QT NE | Eux HAVE T 7 RE H — V

Cette formule ne devra être appliquée que si V < U — H, dansles autres cas il faut se conformer pour les limites des intégrations à ce qui a été dit à La fin du n° 24.

Le dernier terme ne pouvant pas être intégré, nous allons le développer en série.

HEV H+V 7e L LP+L (IS) Rene r ., h h nv He ; H+V (94) h\2 AVAE ete 2: a+vy, JE ii) =; LH x L(T+) se ï d/ | HW posons 1x d'où kh=H(— x) dh = — Hdx

(1) Je mets = LT +) pour éviter de distinguer deux cas selon que V est inférieure ou supérieure à H. Dans le cas V > H la quantité = L devient Re lorsque

h passe par la valeur zéro, cette difficulté se résout en remarquant que si change de signe avec h, donc

+ b +- b dh dh RATE b. Ÿ 7% T=le=sL()

alors , ri

H+V ir | “

| "ue dh —= — La dax — 4 | La ; dx (95)

h D. Il — D Il — >

HN v <

En tenant compte des formules 94 et 95, la formule 93 devient

PA SRE Ne ER PT A: 2A H + V\° x sfr + (EE) w PL (c6) qHV Le au F, “) na dx (9) ? V Supposons d’abord 5 <!; nous avons U ñ F4 2 fee | Loft Hat 24 1). di oO 0 et en intégrant :

Pie LÉ A DEN F6 a A LPS )-(c+F +R ++ + |

Dans le calcul de ces séries si on s'arrête à un terme quelconque, le reste est inférieur au dernier terme calculé multiplié par

a œt LE x6 + DU = ———

ï k Si x > 1 on calculera le dernier terme de la formule 96 comme il suit :

V V H 1 H La Lœ Lo ae = | EE do AE [ @ n/ O 0 1 posons (LE Ls dx ZE — dy y Y” alors :

ka H H 1 il V v y y Ly Eee ë y 29 fa (F7 l'y 1 H o oO on sait que (!) 1 1 Das ?. PIN RES à ] a | RS RT o o on trouve donc finalement v H H V ET r° LY ; JE a (98) o o

H d ; comme + < 1 on achève le calcul avec la formule 97.

Il faut maintenant calculer J,, dans le cas considéré la formule 92 devient :

=: = (99) > ces AU ego) LU /HEE AY?

FE D CSN CIE O0 1e PO er O

(1) Voir le Calcul intégral de M. BERTRAND, p. 142.

Nous allons développer le dernier terme en série, pour cela divisons le en deux parties (nous admettons U > H):

1, a+ ENT, H+a) k H+a} Jr a] 32 ( ah +- +2 dà (td) (2)

# pour calculer le premier terme de cette formule posons

À — fi =* d'où À = Hz dÀ = Hdr

fi eye fl L(E) & = frs

nous avons pour & < 1 :

Htinerg etat

divisant par æ et intégrant nous trouvons

et prenant Re 0 et 1

divise sÈt 1

Pour obtenir le second terme de la formule 100, posons

LENS 1e d'où k —— - dh = — ss dx nous avons alors :

AU PA) de H 1 (HE A\S à l h [: Lx — Te — L = 9 ST.

“be 1) dh Ja me de LT, H H h H Ü

La variable æ se trouvant toujours entre 0 et 1, la formule 101 peut être appliquée, et donne

U Il l H + 2\? ee 1 1 H LR NI MED FÈSTEES Re D)

D'après les formules 100 et suivantes la formule 99 devient :

2H, HU De | Lx = + 5) + +) +] (103)

comme = est plus petit que 1, la série que renferme cette formule

est convergente; en prenant seulement quelques termes pour le

calcul numérique nous aurons une valeur approchée par défaut, 2n —1

£ À il H

si nous nous arrêtons au terme Or =1} (ü le reste est plus

petit que

en | H\°, /H\:

mo) +) +() +]

ou, en faisant la somme de la progression géométrique entre crochets en +1

H 8 a 4 Lorsque ÿ St voisin de 1, cette limite du reste devient grande,

il faut par conséquent une autre formule. Nous pouvons écrire le reste de la série

4 8n + 1 ae ÉÉra l RMS

nr. Nr NP ns PT 2 Le premier groupe renferme nr termes tous inférieurs à Gr? (5)

en + 1 il est donc inférieur à 7 ) , pour passer du premier groupe au second il faut changer nr en 2n et ainsi de suite, on voit alors sans peine que le reste est inférieur à

Nous avons maintenant les formules nécessaires au calcul de J'ot J.

Galculons les valeurs numériques de ces quantités en supposant, d’après Struve, H— 0,25. La vitesse de la Terre dans son orbite étant prise pour unité. Pour V nous adopterons 0,1 vitesse limite dans une orbite de demi grand axe — 100 R, pour U nous ferons encore successivement les hypothèses U = 1, 10, 100, enfin nous prendrons toujours 4 — 2 comme aux n° 10, 16 et 19.

TNT

Au moyen des formules 96 et 97 nous trouvons .

la formule 103 donne pour IX —— — les valeurs suivantes :

Nous obfenons alors pour le rapport entre le nombre des comètes qui ne sont pas sensiblement hyperboliques et le nombre de celles

qui le sont (!), rapport qui est égal à __. les valeurs sui-

vantes :