ME
EX Ce
ä nesoit pas infinie, ce qui aura lieu sûrement si la fonction He est de la forme CA, C étant une constante ou plus généralement une 16h | fonction eine de À qui ne devient j ALL infinie.‘ 26 Ten: se
CRE: — Gomme autre application des tes nous allons examiner
… l'hypothèse 6 du n° 18: ; Mb cms Aioi: Jo) ME :
La formule 90 devient
En
H+V | | = AM mr Au. ie DE RTE Mr [ev+ LE De er 172 (122) CS 2 EE Sn ban rasta nent L'on e Sd 2
CREER TE RUE jalculons d’abord l'intégrale indéfinie et pour cela divisons l'expression sous le signe { en trois termes : T2 | HORS | 2 3 ñ (£ vi + D Re A ut 2f 2/ l'intégration des deux premiers termes donne B/.. aN\ qg/{HA 2H 4 s NRESA EE ES) pour intégrer le terme A L(H — )dh posons H—/=—2zx, d'où IL LH Pare fe Ldmis fa Lis nous avons ensuite (!) fr Lede = (Le L) [La de = He(La? — 2) par conséquent 7 H— 2} - f* LH — 2%) dh— TT Lu R} — ie H(H — DEC jf 2| et nous trouvons que la formule 122 devient : 2H {Æ#f,., qV?\ g[H% 2H, À: H+V DE ANA Eee A0 nee mur Eh) a TTL LE (PE + H(H — DIEAC RTE 2] 2 | H—V be En substituant pour 2, H + V puis H—V et faisant la différence | cette formule se simplifie beaucoup et nous obtenons finalement | a / Lé qV | F J=9n/9M (s me Le) (123) £
(1) Voir le Calcul infinitésimal de Houee, t. 1, p. 215. — Je fais abstraction de la constante qu'il faudrait ajouter à toutes les intégrales indéfinies.
Il est à remarquer que cette formule ne renferme pas la vitesse du Soleil H et est identique à la formule 66 obtenue sous la supposition que le Soleil est immobile ; il fallait s'y attendre à priori car, dans le cas que nous étudions, le nombre des comètes visibles dépend simplement du volume de l'hyperboloïde depuis son centre jusqu'à la distance V.
Pour trouver J, nous avons d’après la formule 92.
+fM [ RERO eu TG GES enr L = |h| LH) 7 LH |dh (129)
on effectue l'intégration de AL (H +) dh en posant H + L — x."
fr LH + 2ÿdh = frLaar — H [2 xdi — . (La? — 1) — Hx(La? — 2)
ou bien
DRAC ose nes [ZG ES — 1] H(H + 4) [Zu have 2|
Cette expression ne diffère de fr LH —P di qui a,.6t6
obtenue plus haut, que par le changement de L en -—-h. L'intégrale de la formule 124 est maintenant facile à obtenir, nous trouvons pour sa valeur
SEE: [Zu DA RE 1] HD) [2 ares 2|
EL nm —1]+nu BL - 2} —2]
24 mp3 En prenant pour limites o et U et portant dans la formule 124 nous obtenons finalement “h
Der DE 2q Fa ME ETAPE H HU? 125 XLR) HU + (125)
E 94 — | ; 80. — On peut aussi obtenir les formules 123 et 125 par la e méthode du n° 21. En effet, dans le cas (4) = M/À, la formule 75 L
devient (!). E 7 V ; | | J — sh | fG Æ Fe) se | sin x da (126) ES Oo | nu
l'intégration par rapport à v s'effectue immédiatement
ti cr [(S + Cr) Sina da
l'intégration par rapport à « s'effectue aussi et nous obtenons J— 2r/qM | V 27 2 (V + 7) CE
ce qui est bien la même valeur de J que celle obtenue au n° précédent (formule 123). d
Pour obtenir J, il faut faire usage de la formule 9, qui aprés que d intégration relative à v est effectuée donne
h = can [0 + 4) Sina da (2 1h (128) S
l est une fonction de « UE par l'équation 77. Prenons « variable, nous avons | __ A EH — U*
DORA ET <NTaRT
(1) Je suppose V < U—H.
aux limites o etr pour + correspondent pour / les limites U + H et U — H, de sorte que la formule 128 devient
U—-H B\ LH — U?— à A : U+H
l'intégration n'offre plus de difficulté, l'intégrale indéfinie est : {M fon HF — U? BE qg# DE [ar U)L1+(q F = t}s- l+e
En prenant U + H et U— H pour limites et effectuant les réductions, on trouve :
ea sue [cu ou = À = SHC si Hu] (130)
. cé » qui est ne à la formule 195.
EL Nous avons donc les formules nécessaires pour les PUR numé- . riques au cas où (4) — MA? entre k — 0 et k — U. Admettons
comme précédemment H=— 0,25, g9 —=2, V=—0,1, f — 1, la formule
127 nous donne
J Es : L .
et la formule 130 donne pour a les valeurs suivantes
U dore 0 PER UE 10 PR ne
SE
bres des orbites dont les demi grands axes sont supérieurs et inférieurs à 100 en valeur absolue :
D'après ces nombres les orbites fortement hyperboliques devraient être très nombreuses.
Pour avoir le nombre total des comètes visibles renfermées entre deux sphères de rayons 7 et r + 1 ayant le Soleil pour centre, il suffit d'opérer comme aux n° 16, 19, 26, nous avons ici, en conservant les notations de ces numéros et appelant N les valeurs de
SM que nous venons de calculer :
U Je = 2r/ÿMN N, = î£ MAdh — 5 MU:
| O donc LCA N
ce qui donne pour N- les valeurs suivantes
l 49,470 10 12,943 LOU 12,570
Il est à remarquer que les résultats que nous trouvons selon que g(.) est une simple constante ou est représentée par MA?, sont moins différents que dans le cas où le Soleil était supposé immobile. Et que si +{(L) = M? les résultats obtenus sont presque les mêmes que le Soleil soit immobile ou en mouvement. Il est facile de comprendre à priori qu'il doit bien en être ainsi.
31. — Les exemples que nous avons donnés suffisent pour montrer l'application des formules et faire bien comprendre leur sens, il est donc inutile de faire sur la fonction o{2) de nouvelles hypothèses. Dans les denx suppositions très différentes &(4)— constante et e(h) = MA? que nous avons examinées, si l'on tient compte du mouvement du Soleil, les orbites fortement hyperboliques doivent être très nombreuses ; on peut se demander s’il est possible de concevoir une fonction #(2) telle que ces orbites soient rares. Il est en effet théoriquement possible de rendre très petit le nombre des comèêtes visibles sensiblement hyperboliques, tel qu'il est donné par les formules de ce chapitre (c'est-à-dire à une grande distance du Soleil). Pour cela il faut admettre que toutes les valeurs de la vitesse absolue différent très peu de la vitesse du Soleil H.
Si toutes les valeurs de 2 sont entre H —eet H + + ,< étant tres petit, le nombre J est encore donné par la formule 90, mais d'aprés ce qui a été dit n° 24, il fant prendre pour limites de l'intégration H-—e ei H+e. La forme de la fonction e(L) entre ces étroites limites a peu d'importance, nous la supposerons constante. Les termes sous le signe { qui ne sont pas infinis pour —H varient très peu lorsque / angmente de H — < à H ++ et par conséquent pour les intégrer il suffit de remplacer dh par 2e et À par H. Il reste à intégrer le terme qui renferme L(H— 2), le coeflcient qui multiplie ce logarithme variant très peu on peut le faire sortir du signe ( et on a simplement à intégrer
EE Î LT —A)dh
EE
en posant H —/ = æ cette intégrale devient
—E € - — f Le dr = à [Ladr = al Laæ — e| — 4:(Le— 1) RS oO
D'après ces remarques, la formule 90 nous donne :
Et | ; qV?
| = (iV+Ee—Le+1) x 2 (131) Cette valeur de J dépeud très peu de V, en effet comme le terme — Le est très grand et que V ne peut dépasser 2H +-e, lorsque V croit d'une petite valeur à sa plus grande valeur possible J augmente très peu, donc la plupart des orbites sont très peu hyperboliques. Mais l'hypothèse que toutes les vitesses 2 sont entre H — + et H+e,< étant très petit, qui est à priori peu probable, n'est pas admissible parce que presque toutes les cométes viendraient des points de la sphère célestesitnés le long d'un grand cercle perpendiculaire à la direction du mouvement du Soleil. En effet, d'aprés la formule 71 le nombre des comètes qui viennent d’une certaine direction dépend de l'expression
de ë | de Re dv (132) ?) 0 —2vH cosa + H°?
les extrémités des vitesses sont toutes entre deux sphères de centre Get de rayons H—e et H ++ (fig. 9), la moitié de l'hyperboloïde tournée vers le Soleil coupe ces sphères aux points G, G°,G”.Dans la formule 132 il faut faire varier v d’abord de 6 à DG, puis de DG' à DG”; dans le premier cas on a des orbites presque paraboliques, dans le second au contraire tant que « n'est pas très voisin de 100€ on a des orbites fortement hyperboliques. La valeur de la formule 132 lorsque » varie de DG' à DG"” est évidemment plus grande que lorsque » varie de o à DG. On voit donc que la grande prépondérance des orbites faiblement hyperboliques provieut uniquement
des valeurs de à peu différentes de 100€, valeurs pour lesquelles les longueurs DG et GG” deviennent beaucoup plus grandes que pour les valeurs de « qui différent de 100.
Ge cas étant écarté, il n’est possible de rendre les orbites fortement hyperboliques rares qu'en admettant que la vitesse du Soleil et celles des corps répandus dans les espaces interstellaires sont-très petites; sans cela il est inexplicable qu'aucune vitesse absolue correspondant à une vitesse relative sensible n'ait son extrémité à l'intérieur de l'hyperholoïde La supposition que les vitesses du Soleil et des étoiles sont très petites, n’est pas d'accord avec ce que nous connaissons sur les mouvements de ces astres, il paraît donc dès à présent bien difficile d'expliquer l'absence des orbites hyperboliques, si l'on fait venir les comètes des espaces interstellaires.
Nous allons voir dans le second chapitre, qu'en considérant les
comètes au voisinage du périhélie, on est amené à des conclusions encore plus favorables à l'opinion que ces astres sont des membres permanents du système solaire.
