NOMBRE DES ORBITES DE GRAND AXE DONNÉ DANS LE VOISINAGE DU SOLEIL

Mémoire de M. Davis.

82. — M. Davis a publié dans le Phrilosophical Magazine un mémoire (!) sur la probabilité des orbites hyperboliques, dans lequel il traite la question sous un point de vue qui a beaucoup d'analogie avec les bases de la solution que nous allons donner dans ce second chapitre, je vais donc commencer par rendre compte de ce mémoire.

Au lieu de chercher, comme nous l'avons fait dans le premier chapitre, le nombre des cométes visibles de grand axe donné qui se trouvent à un instant quelconque dans les régions de l’espace situées près des limites de la sphère d'activité du Soleil, l'auteur cherche le nombre des comèêtes visibles de grand axe donné qui pendant un certain temps entrent dans la sphère d'activité du Soleil, c'est la différence essentielle de son calcul avec ceux de notre premier chapitre. Il considère l’excentricité au lieu du grand axe, et examine séparément chaque valeur de la distance périhélie.

Soit comme précédemment r lo rayon de la sphère d'activité du Soleil, fixons notre attention sur les comètes qui entrent dans cette sphère par un élément ds (fig. 10) et dont les vitesses relativement

au Soleil sont entre deux limites infiee niment voisines v, 0 + de; admettons Fig. 10 que les vitesses sont uniformément ré-

(1) On the probable character of cometary orbits, Philosophical Magazine, septembre 1870 et janvier 1871.

parties dans toutes les directions, le nombre de celles qui font avec la normale à l'élément d- des angles compris entre deux limites infiniment voisines $, £ + df est alors CG, sinÿ dB, C, désignant un coefficient constant. Comme d'autre part la surface d5 projetée sur un plan perpendiculaire à l'une quelconque des directions 8 a pour valeur ds; x cosf , le nombre des comètes qui pendant l'unité de temps traversent l'élément ds avec des vitesses dont les valeurs sont entre » , # + dx et les angles avec la normale entre

6,6 + dé est C; sing cos£ d8 (133)

> M. Davis admet, comme autrefois Laplace (n° 3), que le nombre des cométes qui ont des valeurs comprises entre v, 0 + du (dv ayant une certaine valeur fixe) est le même pour toute valeur de », jusqu'à une certaine limite U. Alors le nombre des comêtes qni traversent l'élément ds pendant un temps donné avec des vitesses entre » et » + du varie proportionnellement (!) à v, de sorte que le nombre des comèétes qui pendant l'unité de temps traversent l’élément ds avec des vitesses dont les valeurs sont entre +,v + dv et les angles avec la normale entre 8,8 + d& est

Co sin3 cos d8 do (134)

C désigne un coefficient constant. Cela posé, des équations 48 du n° 13 nous déduisons :

Be He .

sn — - De — > e — | al = £ : 4" q

4 (4) Ceci est à peu près évident parce que si l’on double par exemple la vitesse | des comtes il y en a deux fois plus qui traversent l’élément 45 pendant Punité PE" de temps; ce sera rendu encore plus clair par les réflexions du numéro suivant.

À la distance périhélie g et lexcentricité e correspondent une vitesse » et une direction 8 données par les équations 135.

Si nous regardons vw et 8 comme les coordonnées rectangulaires d'un point du plan, de x dB représente l'aire d’un petit rectangle et l'expression 134 peut s'écrire

Cv sin8 cosf X rectangle dvdf

de sorte que si x désigne une aire infiniment petite autour du point dont les coordonnées sont v,f, l'expression

Cv sinf cosf X (136)

représente le nombre des comêtes qui traversent l'élément d+ pendant l’unité de temps avec des valeurs de * et 6 représentées par les points situés à l'intérieur de l’aire n.

Considérons les comètes qui ont des distances périhélies entre g, q + dg avec des excentricités entre e,'e + de, les valeurs correspondantes de v et 8 sont représentées par les points situés à l'intérieur d’un parallélogramme infinitésimal dont les sommets ont pour coordonnées :

CS OS 1e CR ES JUS 8 +7 4 ANRT E NS ARE DRE RUES rie s+ 7 de »+® 4 "PP RR UT SA NTTRUE 8+ À de ni Le RE RER 8 + De da + SE de

l'aire de ce parallélogramme est

do dé dudÿ\ ,.

donc d'après la formule 136 Ie nombre des comètes considérées est

Cv sinf cos8 (Te Da) de dq (137)

0 de

En différentiant les équations 135 nous trouvons

LÉ ON do f(e—1)

de ?qv dg 2 dB gr) dB dit+e)(g+re—i) de y» sing cos8(2q + r e — 1) dq rsing cos£ pret)

substituons ces valeurs dans l'expression 137, nous obtenons après réduction :

rar rest)

de dq

et en supprimant le facteur constant ie

Cette expression est donc, à un coefficient constant près, égale au nombre des comêtes qui pendant l'unité de temps entrent dans la sphère d'activité du Soleil (*) et dont les distances périhélies sont entre les limites g,g + dg et les excentricités entre e, e + de.

Pour avoir le nombre des comètes dont les distances périhélies sont entre g, q +- dq et donc les excentricités sont inférieures à une valeur donnée e , il faut intégrer l'expression 138 par rapport à e, en prenant pour limite inférieure la plus petite valeur de l'excentricité. Cette plus petite valeur, qui correspond au grand

AXE T7 9,681 a : L'intégrale indéfinie de la formule 138 par

rapport à e est

are LL (r — 99) L(2q + re — 1) + Const. | da

(4) Nous n’avons considéré qu’un seui élément dé de cette sphère, mais les circonstances sont les mêmes pour tous les éléments.

or : . . D .. , . .

en prenant on pour limite inférieure de l'intégration, et suppri-

: 1 mant le facteur = on trouve

= t 1 D) PT D ee à [r (e ne f) L (n — 9q)L es dq (139)

Cette expression, multipliée par un coefficient constant, représente donc le nombre des comètes qui pendant l'unité de temps entrent dans la sphère d'activité du Soleil et dont les distances périhélies sont entre g, q + dg et les excentricités inférieures à e. On ne doit

. {ones 10

as faire descendre e au-dessous de pas faire descendre e au-dessous d :

En négligeant 9 devant r et supprimant le facteur r, l'expression 139 devient :

Fr PEER] (140)

Examinons maintenant les conséquences des formules que nous

venons de trouver, et d'abord cherchons le rapport du nombre des

comètes elliptiques an nombre total. Pour considérer les comètes elliptiques seules 1l faut faire e — 1, la formule 140 devient alors

LE X dy (141)

Pour avoir la totalité des comètes, il faut donner à e sa plus grande valeur e’, qui correspond à la plus g sue valeur de la vitesse U. En

négligeant la très petite quantité 1 la première des équations 135

nous donne

qu?

Portons cette valeur dans l'expression 140 et prenons comme précédemment / — 1 (n° 10), nous obtenons :

[aus + 2 EU] à (143)

Le rapport du nombre des comètes elliptiques au nombre total, égal au rapport des expressions 141 et 143, est donc :

qd 1 LÈ + rU?)r (144)

qU? +

La valeur de cette expression dépend de la limite des vitesses U, mais si cette limite n'est ni trop petite ni trop grande, elle est assez

LS | PU. 4 . + 0 , , , voisine de +: En effet si la quantité U n’est pas trés petite on peut

négliger 2 devant rU? et le dénominateur peut s'écrire

2 qU*? E ie QU+Li+2Le

Si U n'est pas bien grande (voisine de 1) la quantité qU? + ER . . + és est assez petite relativement à che de sorte que la valeur de

5 ce qui veut dire que parmi

l'expression 144 est voisine de les comètes de distance périhélie g qui pendant un temps donné entrent dans la sphère d'activité du Soleil la moitié décrivent des ellipses et l'autre moitié des hyperboles.

Si, comme cela paraît probable (n° 20), la valeur de U est deux

ou trois fois la vitesse de la Terre, l'expression 144 est inférieure à L et il y a plus d’hyperboles que d’ellipses.

Cherchons le nombre des comètes dont l'excentricité est supérieure à une valeur donnée e ; au moyen des formules 140 et 143 nous voyons que parmi les comètes de distance périhélie g le rapport du nombre de celles dont l’excentricité surpasse e au nombre total est :

1)r 2 (145) ? (@ + rU?)r k

M. Davis admet pour valeur de U trois rayons de l'orbite ter -

restre par an, il fait remarquer par des considérations analogues à celles du n° 20 que cette valeur est probablement trop faible. En prenant pour unité la vitesse de la Terre dans son orbite on à

ee U? = — 0,22797

Pour 7, g,e l'auteur adopte successivement diverses valeurs, devant revenir plus loin sur la même question (n° 38) contentonsnous de faire g— 1, r — 100 000, e — 1,02 la formule 145 prend alors la valeur snivante :

Parmi les comètes de distances périhélies 1 il y en aurait donc (!) 12 à 13 pour 100 dont les excentricités seraient supérieures à 1,02, résultat qui n’est pas dn tout confirmé par les observations.

M. Davis conclut donc que les comêtes sont des membres permanents du système solaire. Mais malgré cela il n'abandonne pas la théorie d’après laquelle ces astres viendraieut des espaces interstellaires et se prononce en faveur d'une théorie mixte ; pour lui les comètes nous viennent au débnt des espaces interstellaires mais quelques unes d'entre elles restent liées pour toujours au système solaire, de sorte que les comètes que nous connaissons, ou au moins la plupart d'entre elles, sont actuellement des membres permanents de ce système. Il reste à expliquer comment une comète peut être liée pour toujours au Soleil, M. Davis croit avec raison que l'action des planètes n a pas eu cet effet sauf des cas exceptionnels ; il l'explique par l'action d'un milieu résistant. Par des caleuls approchés il trouve qu une résistance analogue à celle qu'on a eru constater

(1) Si l’on compare ce nombre à ceux donnés par M. Davis (Philosophical Magazine, 1870, t. 11, p. 189), il ne faut pas oublier que ceux-ci sont les nombres des excentricités supérieures à e parmi 100 orbites hyperholiques, l’auteur démontre ensuite qu'avec la valeur de U qu'il admet il y a à peu près autant de comètes elliptiques que de comètes hyperboliques.

dans le mouvement de la eomète d'Encke peut diminuer légérement le grand axe de l'orbite, pour une orbite elliptique de distance aphélie 400 000 fois le rayon de l'orbite terrestre et de distance périhélie égale à celle de la comète d'Encke, la distance aphélie serait diminuée de 0,02 de sa valeur pendant une révolution. Cette diminution n'est pas bien forte, mais comme d’après le calcul de M. Davis la moitie des orbites sont elliptiques, elle peut suffire à expliquer comment un certain nombre de comêtes venues au début des espaces interstellaires ont été rattachées pour toujours au système solaire.

Si nous comparons les résultats de M. Davis à ceux de notre premier chapitre, nous trouvons de grandes différences. L'hypothèse que les vitesses relatives au Soleil sont réparties uniformément dans toutes les directions et que leurs valeurs sont toutes également probables entre zéro et U est précisément celle faite par Laplace, et sur laquelle les calculs du no 10 sont basés. La différence entre les résultats de ce numéro et ceux de M. Davis provient donc seulement de ce que cet auteur a considéré le nombre des comêtes qui, pendant un temps donné, entrent dans la sphère d'activité du Soleil. Il est facile de comprendre que c’est avec raison qu'il a agi ainsi. En effet, imaginons une série de sphères ayant le Soleil pour centre et considérons seulement les comèêtes dont la distance périhélie est inférieure au rayon «de la plus petite, dans leur marche ces comeétes traversent successivement les surfaces de toutes ces sphères et il est clair que pendant l'unité de temps le même nombre d’entre elles traversent l'une quelconque de ces surfaces. Donc si nous considérons les cométes qui ont une distance périhélie assez petite pour que nous puissions les observer et en outre remplissent certaines conditions, le nombre de celles qui en moyenne passent au périhélie pendant un certain temps est le même que le nombre de celles qui pendant cet intervalle de temps entrent dans la sphére d'activité du Soleil. Ce sera d’ailleurs rendu encore plus clair par ce que nous dirons dans la suite.

Mais les résultats précédents ne peuvent passe concilier avec ceux que nous avons obtenus en tenant compte du monvement du Soleil.

Eneffet, nous avons trouvé que toutes les orbites devaient être hyperboliques, à de très rares exceptions près, comme les comètes ellip— tiques vont plus lentement que celles qui sont hyperboliques, elles entrent plus lentement dans la sphère d'activité du Soleil et la considération du nombre des comètes qui entrent dans cette sphère ne peut que rendre les orbiteselliptiques encore plus rares. Ainsi d’après les calculs du premier chapitre toutes les comètes devraient être hyperboliques, tandis qu'ici on en trouve la moitié d'elliptiques. Cette différence vient de ce que M Davis, bien qu'il admette le mouvement du Soleil, n'en a en réalité pas tenu compie dans son calcul. 11 part de l'hypothèse que les directions des vitesses sont réparties indifféremment dans tous les sens et que leurs valeurs sont toutes cgalement probables entre zéro et U; d’après ce que nous avons dit no 21 et suivants, lorsqu'on tient compte du mouvement propre du Soleil, ces hypothèses ne peuvent pas être faites sur les vitesses relatives. D'ahord leurs directions ne seront pas uniformément réparties, cependant l'hypothèse d’une répartition uniforme peut être considérée comme approximativement exacte. Mais ce qui ne peut être admis c’est que toutes les valeurs soient également probables entre zéro et une limite U ; en effet revenons à la figure 4 (n° 21), comme la fonction (2) ne varie pas brusquement et que les vitesses absolues sont regardées comme uniformément distribuées en direction, pour des valeurs de la vitesse absolue comprises entre deux limites 2, L, peu différentes les points E (extrémités des vitesses absolues ) seront distribués à peu près uniformément dans l'espace compris entre deux sphères de rayons h,, k, et de centre C ; or les points E sont aussi les extrémités des vitesses relalives +, et pour des valeurs de » comprises entre zéro et une limite peu élevée les valeurs correspondantes de ! sont peu différentes, il en résulte que lorsqu'on tient compte du mouvement du Soleil les extrémités E des vitesses relatives peuvent, pour de petites valeurs de ces vitesses, être regardées comme uniformément répandues dans l’espace ; c’est la seconde hypothèse que nous avons étudiée et nons avons vu que dans ce cas o{v)— Mr, loi qui conduit à des conséquences différentes de celles que l’on déduit de la supposition w{x)— constante.