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Donc en résumé M. Davis à eu raison de compter le nombre des comètes qui entrent dans la sphère d'activité du Soleil, mais son calcul ne tient pas compte du mouvement du systéme solaire dans l’espace.
Remarques sur la fonction ».
33. — Nous avons désigné par e(L)dh le nombre des comètes qui se trouvent dans l'unité de volume et dont les vitesses ont des valeurs comprises entre k, } + dh; nous pouvons aussi concevoir, au point de l'espace considéré, une petite surface ds ( fig. 10) et désigner par une certaine fonction de Let 8 le nombre des comètes qui dans l’unité de temps traversent cette surface (!) ds avec des vitesses dont les valeurs sont comprises entre A, + dh et dont les angles avec la normale sont entre $, 8 + d8. D'après les considérations données au commencement du n° 32 ce nombre peut être représenté par
ds X Y(h) sins cosf dA d8 (146)
Ÿ(A) est une certaine fonction de h seulement,
Il faut trouver la relation entre la fonction !{) et la fonction &() dont nous nous sommes servis jusqu'ici. Imaginons une sphère de rayon & quelconque, située dans la région considérée de l’espace, et la formule 146 étant admise, cherchons le nombre des comètes de vitesses comprises entre h, h + dh qui sont à l'intérieur de cette sphére. Remarquons à cet effet que tous Les corps qui s'y trouvent actuellement ont traversé la surface de la sphère, considérons en un point A de cette surface un élément d+, le nombre des corps qui traversent cet élément pendant l'unité de temps avec des vitesses comprises dans les limites À, h + dh et 8,6 + d$ est donné par la formule 146.
(1) Les vitesses étant uniformément réparties en tous sens ce nombre est le même quelle que soit l'orientation de l'élément do .
Ces corps parcourent dans la sphère le chemin 2 cosf, le nombre de ceux qui se trouvent à l'intérieur de la sphère à un instant quelconque est par conséquent
: do COSG
ds X Y(h) sing cos8 dh ds X DE 2
pour avoir le nombre des corps de vitesses comprises entre h, h + dh qui sont à l’intérieur de la sphère et y sont entrés par l'élément ds, il faut intégrer par rapport à f de o à 3 ce qui donne
2 2) ds X YA)jdh X *] sing cos’ 8 dé — ds X Y(hjdh X =
Enfin pour avoir le nombre total des comètes de vitesses comprises entre À, h + dh qui sont à l'intérieur de la sphère, il faut étendre cette formule à la surface entière, ce qui se fait simplement en remplaçant ds par la valeur de cette surface 4r2?, nous obtenons ainsi :
8To*
37 Y(A)dh (147)
D'autre part quand nous représentons par +(2)dh le nombre des comèêtes visibles de vitesses entre 2, k + dh qui se trouvent dans l'unité de volume, le nombre de ces comêtes dans une sphère de rayon p est |
3 rp$ X o(4)dh (148)
En égalant les expressions 147 et 148, et supprimant les facteurs communs nous trouvons
YA)= 5 ho) (149)
telle est la relation très simple qui existe entre les fonctions &(x) et d(A).
DL. - Cette relation peut encore être démontrée de la manière suivante : D'après la formule 146, le nombre des cométes qui traversent un plan limité + pendant l'unité de temps avec des vitesses comprises entre les limites , L + dh et des directions comprises entre o et 8 est:
TOR EL cosg d8 = 5 Wh)dh x = ( — COS 2f)
Considérons le cas ou £ est infiniment petit, un cylindre droit
ayant - pour base et pour ue h renfermera un nombre de corps de vitesses sr riad dans les limites h,
h+ dh et o, & (8 étant infiniment petit)
égal à celui des corps qui traversent la sur-
Fig. 12 face ; pendant l'unité de temps, car tous
ceux de ces corps qui sont contenus au temps { dans ce cylindre ont traversé - entre les temps # et { — 1. Ce nombre est donc
: sHh)dh X 7 (4 — cos 28) (450)
il peut aussi se calculer au moyen de la fonction :{L), en effet le nombre des corps qui se trouvent dans l'unité de volume avec des vitesses comprises entre les limites À et h + dh, & et B+ dB est
h)dh X À sing dg (151) “A D
Remarquons qu'il faut bien le facteur L 3 Sing dé, en effet le nombre que nous voulons exprimer par la PE 151 peut être rephétenté par
k {h)dh X sing dé k étant une constante, or on doit avoir
k{hjdh J sing d8 = h)dh
u vent dans le cylindre ayant pour base & et pour hauteur / est donc :
ce qui donne k—;. Le nombre des corps considérés qui se trou-
h)dh X 5 [sine dB X hs = (h)lh X hall — cosf) (152)
En égalant les expressions 150 et 152 nous trouvons, aprés sup— pression des facteurs communs : |
VA) = H 60h) X 2 pe (153) 6 étant infiniment petit TRS est de la forme en prenant
deux fois le rapport des dérivées on trouve que la vraie valeur est
: et la formule 153 devient
YA) = 3 h e(h)
ce qui est bien la formule 149.
