SUR LA PROBABILITÉ DES GOMÈTES HYPERBOLIQUES

Les formules que nous avons trouvées dans le premier chapitre donnent les nombres de comètes visibles de grand axe compris entre des limites données que nous devrions trouver si nous nous transportions à une très grande distance du Soleil, dans les régions de l’espace où l'attraction de cet astre devient insensible, et que placés là nous comptions les comètes visibles (!) situées autour de nous. Comme en réalité nous observons de la Terre, ces formules sont loin de donner une solution complête de la question. Nous allons maintenant chercher les nombres de comètes visibles de grand axe compris entre certaines limites que nous devons réellement trouver en observant de la Terre.

Cas où l’on suppose le Soleil immobile.

34,— Nous conservons les mêmes notations qu'au n° 13, chap. 1, » désigne la vitesse relativement au Soleil, 8 l'angle de cette vitesse avec le rayon vecteur r. Dans le cas où l’on suppose le Soleil

(4) Il ne faut pas oublier que par comètes visibles nous entendons les comètes dont la distance périhélie est inférieure à une limite g, égale à environ deux fois le rayon de l’orbite terrestre.

immobile la vitesse relativement au Soleil et la vitesse absolue coïncident. Considérons les comètes visibles qui correspondent aux valeurs de la vitesse initiale v comprises éntre les limites ©, v + dv et de l'angle 8 comprises entre $, 5+ df. Soit n, le nombre de ces comètes qui se trouvent entre deux sphères de rayons r,r + dr ayant le Soleil pour centre et nr, le nombre de ces mêmes comètes qui se trouvent en moyenue dans une sphére de rayon g ayant aussi le Soleil pour centre.

Les comètes considérées ne restent pas le même temps dans ces deux espaces, elles restent dans le premier un certain temps 4,, dans le second un temps £,. Nous avons entre n,,#,, n,,t, la relation

DEP NA) la Ca

car puisque les comèêtes qui passent dans les deux espaces sont les mêmes, leurs nombres dans chaque espace sont dans le même rapport que les temps qu'elles y restent.

Si cette relation ne paraît pas évidente on peut la démontrer comme 1l suit : les cométes que nous considérons ont des mouvements identiques et on ne change rien en supposant qu'elles décrivent toutes la même trajectoire. Alors si deux d’entre elles traversent un certain point de cette trajectoire à un certain intervalle de temps, 1l est clair qu'elles se suivront toujours après le même intervalle de temps, et il devient évident que le même nombre des comèêtes considérées traversent pendant l'unité de temps la sphère de rayon r + dr, la sphère de rayon r et celle de rayon g, désignons ce nombre par u. Le nombre des comètes renfermées entre les sphères de rayons r,r + dr est alors x£, de sorte que n,—=vyt,, de même n,—=ué, donc

ni mn Na te

Soit maintenant P le nombre des comètes situées dans la sphère de rayon g ayant le Soleil pour centre et dont la vitesse initiale (à la

J KL NC pd La À Le * OA ee

Lai

DER à 7, |

LL distance r) avait une valeur comprise entre certaines limites don— à nées, nous avons

une la

le signe E s'étendant à toutes les valeurs de n,, #,, #, qui correspondent à des comètes visibles pour: lesquelles la valeur de la vitesse

ie est entre les limites données.

Désignons toujours par e(v)de le nombre total des comètes de tesses comprises entre v,v + dv qui se trouvent dans l'unité de ne à la distance r du Soleil; le nombre des comètes qui se ent dans l'unité de volume et dont les vitesses ont des valeurs

7 tu et des A ie entre f 8, B+ dB est :

te pe x! sis af

donc

n = 4rr/dr X o(v)du X = sing 48 — ?2rr°o(v) sins dv d$ dr

Le temps £, est lié à w et $ par la formule

mer:

7 vvosp

car les comêtes que nous considérons mettent le temps #, pour dr

cos B

tion dev et 6, mais une fonction assez compliquée, nous avons alors

parcourir la longueur avec la vitesse v; £, est aussi une fonc-

Ra = TN F— l X Qrr?vo(v) sing cos8 dv dB (154) et la valeur de P s'obtient par l'intégration de n, entre les limites

données, de sorte que

ml r Bi

E = | dv | {3 X vo(v) sin$ cos8 dB (155)

v, et V sont les limites arbitraires choisies pour v; 8, est une fonction de v qui représente la plus grande valeur de 8 correspondante à v, c'est-à-dire la valeur de 8 pour laquelle la distance périhélie est égale à la limite 4 pour la valeur » de la vitesse, elle est donnée par la formule 49 du premier chapitre :

Den —— r° Sin Bi — 9"

Relativement à la limite inférieure +, nous devons faire la même remarque qu'au n° 15, la formule 155 n'est applicable que si v, > A avec

nn D CR

Si l’on prend zéro pour limite inférieure des vitesses, il faut faire v, = À et ajouter ensuite à la formule 155 la quantité

wl 3

nA re | dv X vo(v) fs sinf Cos8 d8 C La

parce que pour v < À la Himite de 6 est =. De sorte que finalement

le nombre moyen des comètes situées dans la sphère de rayon gq ayant le Soleil pour centre et dont les vitesses initiales sont inférieures à V est: