NÉ

comprise dans les limites v, v + dv et une direction dans les limites 8, 8 + dB qui se trouvent dans la sphère du rayon g. Désignons par n', le nombre de ces mêmes comètes qui passent au périhélie pendant l'unité de temps, nous avons

fa —= fe la

en effet, ces comètes mettent le temps + pour aller de leur entrée

* HO ‘1: | Q le .

dans la sphère de rayon qg au périhélie et aussi + pour aller du péri-

hélie à leur sortie. Leur nombre entre le périhélie et la sortie est

n t . ! , Q 1" A donc »’, + » leur nombre entre l'entrée et le périhélie est le même,

par conséquent 2, —=n,t,. Il s'ensuit :

? Na o + n n'a = — = 2rr°vo(v) sin$ cos$ du dB (158)

Désignons par P’le nombre des comèêtes visibles de vitesses initiales comprises entre v, et V qui passent au périhélie dans l'unité de temps, P’ se déduit de n°, comme P de n, et nous trouvons

& Ba P'— 2x | dv X ve(o) [sing coss 28 (159)

8, est toujours donné par la formule 156.

36.— La formule 159 peut encore être trouvée par une autre marche. Considérons les comêtes qui décrivent une orbite déterminée, le nombre de ces astres qui pendant l'unité de temps passent par un point quelconque de cette orbite est constant et égal au nombre de ceux qui pendant l'unité de temps passent au périhélie. Cela posé, nous avons vu n° 33 que le nombre des comèêtes qui à une grande distance du Soleil traversent un élément de surface de et dont les vitesses ont des valeurs entre +, v + de et des directions

entre 8, © + d8 peut être représenté par

ds X y(v) sing cos$ dv dB

pour avoir le nombre »', il suffit d'étendre cette formule à tous les éléments de la surface d’une sphère de rayon r ayant le Soleil pour centre, ce qui donne

n'a = ärr*4(v) sin$ cos$ dv di

valeur égale à l'expression 158 car y{v) — : vo(v), de n°, on déduira P' comme précédemment. d

Il faut reproduire ici la remarque déjà faite sur la limite inférieure des vitesses, lorsqu'on prend cette limite égale à zéro la formule 159 devient :

A is v Bu

L 2 1 AE — 2er | dv X va(v) f sin cose dB + 2x | do X vo) | sing COSB dé Le) Le) A o

Dans cette formule P’ est le nombre des comètes visibles (distances périhélies inférieures à g) de vitesses initiales inférieures à V qui passent au périhélie pendant l'unité de temps.

La formule 160 est préférable à la formule 157, d'abord pour obtenir P° par l'observation il suffira de compter pendant un certain temps les comêtes que nous voyons passer au périhélie; ensuite la formule 160 ne renferme pas #, , ce qui permet d’eflectuer l’intégration relative à 8. Nous avons en effet

FE: En for: cosf TE Jus cos$ &f = À sing

l'équation 156 donne alors

fi de Fu cos dB — ei

> 160 devient

Pres cr fret + x [cts de cetE np 1)] dv (161) * : \ [0] Dans le cas où l'on prendrait la limite supérieure V inférieure à À, il faudrait simplement

P'— #71 [l va(v) dv (162)

Le

Conséquences des formules.

37.— Examinons le cas du chapitre I, n° 10 et 16, où s{v) est une constante, que nous désignerons encore simplement par la lettre e. La formule 161 devient

p' —= r ro fon To [re + 219 (1 A 1) | dv

l'intégration se fait sans difficulté.

! 7 2 /X72 2 Pre [ar Love A} fi — 1) Lo | ou en remplaçant A? par sa valeur (formule 50) : 4 ; ) V 4 ne Pre [7y(1 2) + Eva 2) 11] (163)

Cherchons comme an n° 10 le rapport entre le nombre des comètes visibles dont la vitesse initiale est inférieure à V et le nombre de celles dont la vitesse initiale dépasse V ; en faisant V —U dans la formule 163, nous avons le nombre total des comêtes visibles qui passent au périhélie dans l'unité de temps :

FD

sea + Eu ten 9 11] (164)

il faut retrancher de ce total le nombre des comètes dont la vitesse est inférieure à V, donné par la formule 163, prendre cette différence comme dénominateur et la formule 163 comme numérateur, nous obtenons ainsi :

(=D tu + w(9 2)

RTS Ü 20 v)+ 2 (1 —1) ne

Cette formule joue 1ei le même rôle que la formule 39 dans le premier chapitre, elle donne le rapport entre le nombre des comètes visibles de vitesses initiales inférieures à V et le nombre de celles de vitesses supérieures à V qui passent au périhélie dans l'unité de temps, ou par conséquent dans un intervalle de temps quelconque

38.— Pour le calcul de la valeur numérique de la formule 165 admettons comme précédemment g — 2, r — 100 000, l'unité de longueur étant le rayon de l'orbite terrestre, et prenons pour unité de vitesse la vitesse de la Terre dans son orbite, par conséquent f—=1. En prenant d’abord pour V la vitesse parabolique à la distance r, la formule-165 donnera le rapport du nombre des orbites elliptiques au nombre des orbites hyperboliques. Les valeurs

AE ses L numériques de V et + soni :

2e Le 06000 Von à |

et la formule 165 prend la valeur snivante :

ou à très peu près