P’ AE

= her (203)

Pour le nombre total des comètes qui passent au périhélie dans l'unité de temps, on a :

T l eo]

P'e » 7 : qu? s A = | de sn ( " D) de (204)

et en intégrant par rapport à :

ÉRRE Je ANR FN | (+7) sina da (205)

L étant une fonction de « l'intégration offre une petite difficulté qu on résout en prenant / pour variable, la formule 205 devient alors

U-H is: = Ë Le) Peer dl r {M d 8f 2H?

et l'intégration n'offre plus de difficulté, on obtient

LÉRCUS « Pa D LP ou met Lc —rr = en [7 + 7 HE ++ (CU ne ; ou Es — Z ‘12e n "#4" <

Les formules 203 et 206 résolvent la question dans le cas o(h) = M}>. La formule 203 ne renferme pas la vitesse du Soleil, il fallait s'y attendre de même que pour la formule 123 du n° 29.

Faisons quelques substitutions numériques, avec 9 —=2, f—=1 on trouve pour la formule 203 les valeurs suivantes :

Fe frs V r/qM V r/gM 0,1 0,0100 1,0 1,5 07? 0 ,0408 2,0 12,0 0,4 0,1728 4,0 144,0 0,6 0,4248 6,0 684,0 0,8 0,8448 8,0 2112,0

Pour AN » avec H=— 0,25, nous trouvons pour diverses valeurs de U:

Il suffit de parcourir ces valeurs pour voir que dans l'hypothèse

@(h) = M}? il y à un nombre considérable d'orbites fortement hyperboliques.

Enfin en appelant N la valeur de 2 et N, le mbre ppelant N la valeur de M et N, le nombre total

des comètes contenues dans l'unité de volume à la limite de la sphère d'activité du Soleil, nous avons :

U P', — =fÿMN N, = [Mi dh = 5 MU:

donc P', 31/9 PT FL

d'où pour K- les valeurs suivantes :

U 1 28,27 10 96,17 100 942,67 52. — Peut-on concevoir une fonction +(.) telle que les orbites

sensiblement hyperboliques soient rares ? Si la vitesse du Soleil n’est pas très petite cela n’est pas possible ; le théorème suivant le prouve:

Quelle que soit la fonction +(4), parmi les comèêtes visibles qui passent au périhélie pendant un certain temps, le nombre des comèétes dont la vitesse relative initiale est supérieure à la vitesse du Soleil H est plus grand que le nombre de celles dont la vitesse relative initiale est inférieure à H.

Nous démontrerons ce théorème en prouvant qu'il a lieu en particulier pour les comètes dont les vitesses absolues initiales sont entre À et À + dh. Pour avoir parmi ces comètes celles dont la vitesse relativeinitiale est inférieure à H, il faut faire V —H dans la formule 182, le nombre total des comèêtes est donné par la formule 183 ; il faut donc prouver que la formule 182 avec V —H

est inférieure à la moitié de la formule 183. Nous distinguerons deux cas à cause du double signe. Il suffit de considérer la quantité entre crochets, le facteur qui la multiplie étant le même dans les deux formules.

1° À < H, il faut prendre le signe —.

Avec V —H le crochet de la formule 182 devient

H(+S)- nf +) ou n+ 2 [x Et r> | (207) Le crochet de la formule 183 est 2h + [cu NUS PE: de y | (203)

Si nous comparons les formules 207 et 208, nous trouvons d’abord les termes Let? , le second est double du premier ; les termes

suivants, en supprimant le facteur Fe et développant, deviennent : SH2A — 3HA°? + hs et GPA + 2h

la seconde de ces quantités est supérieure au double de la première. Donc la formule 208 est plus que double de la formule 207.

2° h > H, il faut prendre le signe +.

Avec V —H, le crochet de la formule 182 devient 2): tee A Fe [ue HE >| (209)

le crochet de la formule 183 est

QH + 8 [ou LAURE >] (210)

AG . À à Bic

de" A4

D'abord en ce qui concerne les termes qni ne renferment pas ër ; )

celui de la formule 210 est plus du double de ceux de la formule 209, car de À > H résulte 24— < H; développant ensuite les quan-

tités qui multiplient Fi on trouve

QHS — SH + SH — hs et QH® + GH?

supprimant les termes 3H? et 6HA°, dont le premier est la moitié du second, il reste

2H$ — 3H°h — R° et Pia

La première de ces quantités est moins de la moitié de la seconde, car comme À > H, 2H° — }* est inférieur à H°. On voit donc que la formule 210 est plus que double de la formule 209.

Ainsi parmi les comèêtes visibles dont la vitesse absolue initiale est entre À et À + dh qui passent au périhélie pendant l'unité de temps, il y en a plus de la moitié dont la vitesse relative initiale surpasse H ; ce théorème ayant lieu quelle que soit L, a lieu pour la totalité des comètes visibles qui passent au périhélie pendant un temps donné

Ce théorème est intéressant en ce qu’il est mdépendant de la fonction e(), il suppose uniquement que les vitesses sont uniformément réparties en direction et que la fonction ef) est la même dans les régions éloignées du Soleil dans toutes les directions.

Avec la valeur H — 0,25 il y aurait plus de la moitié des comètes visibles dont la vitesse initiale surpasserait 0,25, par conséquent

dont le demi grand axe serait inférieur à 16. Des orbites

(0,25 — aussi fortement hyperboliques ne passeraient sûrement pas

inapercues.

53. — Nous avons vu n° 42 que lorsqu'on suppose le Soleil immobile, on peuttenir compte de ce que la probabilité de la décou-

verte d’une comète change avec leséléments de son orbite. Lorsqu'on tient compte du mouvement du Soleil cette question est difficile à résoudre, parce qu'alors le nombre des orbites de grand axe donné dépend de la direction d'où viennent les comètes, par conséquent des divers éléments des orbites. Il en résulte que pour une distance périhélie fixée le rapport réel et le rapport observé entre les nombres des orbites de grands axes inférieurs et supérieurs à une certaine limite ne sont pas nécessairement égaux.

Toutefois la méthode du n° 42 nous permettra de connaître le nombre des orbites de grand axe donné pour chaque distance périhélie ; ici P’ est donné par la formule 184, de sorte que la formule 172 est remplacée par la suivante :

HE ap’ fat ef ah (211) HN) avec dfs() (2) qV?\ q(E — ÀŸ LA en = m7 |" ( La D) + (H—h) (1 Her )] (212)

expression qu'on obtient en différentiant la formule 182 par rapport

À NL 3 1P' es :

à g. On obtient une autre expression de en différentiant la formule 177.

94. — Il résulte des calculs précédents que lorsqu'on tient compte

du mouvement du Soleil, les comèêtes visibles qui passent au périhélie pendant un temps donné doivent toutes (à un infiniment petit près) décrire des hyperboles, et la plupart doivent avoir un caractère hyperbolique très prononcé. Supposerait-on même la vitesse du Soleil beaucoup plus petite que 0,25 on n'échapperait pas à cette conclusion, en eflet les nombres que nous avons obtenus avec la valeur très faible H— 0,01 montrent que même dans ce cas il y a beaucoup d'orbites fortement hyperboliques, à moins qu’on suppose aussi que la limite supérieure U des vitesses des comètes est

petite, car la plus grande vitesse relative est H + U. Ainsil'absence des orbites fortement hyperboliquesne peutavoir lieu que si la vitesse du Soleil et les vitesses des corps répandus dans l’espace sont très petites ; ce que nous savons de ces vitesses (n° 20) ne permet pas d'admettre qu'il en soit ainsi. La théorie qui fait venir les comètes des espaces interstellaires ne peut donc pas être admise. |

On fera peut-être des objections sur lesquelles je dois présenter quelques remarques. D'abord on pourrait objecter qu'une hyperbole de demi grand axe 100 sera peut-être difficile à distinguer de la parabole, mais nous avons vu que ce nest pas seulement les hyperboles de demi grand axe un peu inférieur à 100 qui devraient être nombreuses, et qu'il devrait fréquemment se présenter des orbites dont le demi grand axe serait égal à un petit nombre de fois le rayon de l'orbite terrestre ou même inférieur à ce rayon ; il est inadmissible que de telles orbites soient prises pour des paraboles. En outre, si l’on examine les formules du mouvement dans une orbite peu différente de la parabole, on ne voit aucune raison pour que le caractère hyperbolique soit plus difficile à déceler que le caractère elliptique. Or il existe plusieurs comêtes qui non seulement ont été reconnues elliptiques après une seule apparition, mais même dont on a pu prédire le retour avec exactitude, laissant de côté les courtes périodes, les comètes de Pons et d'Olbers en sont de frappants exemples. On ne peut donc pas objecter que le caractère hyperbolique ne pourrait pas être reconnu. Il faut aussi remarquer que si presque toutes les comètes s'écartaient de la parabole toujours vers l’hyperbole, ces écarts fussent-ils même très faibles, ils ne passeraient pas inaperçus, et les observations ne montrent rien de semblable.

Au sujet de la supposition que le monvement du Soleil est rectiligne et uniforme, remarquons que d'une part ce mouvement reste sûrement tel pendant un temps très considérable, et que d'autre part les résultats étant indépendants du rayon de la sphère d'activité du Soleil, on peut restreindre cette sphère sans les changer.

Les partisans de la théorie qui regarde les comètes comme étrangères au systéme solaire ont encore la ressource de se retran-

cher derrière l'existence supposée d'un milieu résistant qui changerait les résultats ; l’étude de l'effet d’un tel milieu ne rentre pas dans le cadre de mon travail, je ferai seulement observer que pour produire l'effet désiré, c’est-à-dire rendre paraboliques des orbites fortement hyperboliques, ce milieu devrait être fort résistant ou s'étendre à une distance considérable du Soleil, les mouvements des planètes et des comètes périodiques ne permettent de supposer qu'une très faible résistance, il faudrait donc admettre que ce milieu s'étend à une très grande distance du Soleil. En outre, ce milieu résistant ne devrait pas être en repos dans l’espace, il devrait être animé du moment du Soleil, sans cela s’opposant au mouvement absolu et non au mouvement relatif, il ne rendrait pas les orbites paraboliques, on serait donc amené à des hypothèses arbitraires.

Quant à la théorie mixte de M. Davis (n° 32) cet auteur pouvait l’'admettre parce que, ne tenant pas compte du mouvement du Soleil, il supposait que la moitié des orbites sont elliptiques ; mais la faible diminution de vitesse qu'il trouve devoir être produite par le milieu résistant modifierait à peine les orbites hyperboliques.