PA, UE

Maintenant imaginons une sphère dont le centre soit celui de la comète et le rayon égal à l'unité, et admettons que les vitesses des comètes qui sont près des limites de la sphère d'activité du Soleil, sont dirigées uniformément dans toutes les directions, donc indistinctement vers tous les points de la sphère de rayon 1. La proba- k bilité du fait que la direction d’une vitesse fasse avec le rayon vecteur 6 un angle compris entre 8 et 6 + dB est alors (!) :

2x sinp dB 1

nn sn0 a (3)

£ La probabilité que la vitesse fasse avec le rayon vecteur un angle | compris entre o et 8 est donc :

3 f sine #8 5 — cos) (4)

Lorsque 8 est entre 100 et 200€ la comète commence par s'éloigner du Soleil, si l'orbite est hyperbolique elle s'éloignera indéfiniment ; si l'orbite est elliptique elle a de grandes chances de sortir complètement de la sphère d’activité du Soleil et de tomber sous l’action de quelque étoile. Nous considérerons donc toute comète pour laquelle 8 est entre 100 et 200° comme ne devant pas venir passer près du Soleil (?) et nous allons raisonner seulement sur des valeurs de 8 inférieures à 100€.

Lorsque v restant fixe 8 varie de 0 à 100, g augmente constamment ‘ avec 8 ; en effet en prenant la dérivée de l'équation 1 par rapport à g nous trouvons :

(4) Le nombre des cas favorables et le nombre des cas possibles sont entre eux comme la surface découpée dans Ja sphère de rayon 1, ayant pour centre la comète, : par deux cônes de révolution dont les génératrices font avec le rayon vecteur les angles 8, 8 + dB et la surface entière de la-sphère de rayon 1. . (2) Si l’on ne voulait pas admettre cette considération, il suffirait de doubler le nombre des comètes elliptiques donné par nos formules. ,

Le die Comme la quantité , est toujours plus petite que 1 lorsque & est d sin?

dq quantité positive, donc g augmente constamment lorsque $ augmente de 0 à 100° {!). Il en résulte que v ayant une valeur fixe donnée, la probabilité que la comète viendra passer près du Soleil avec une distance périhélie inférieure à q (?) est la même que la probabilité que {a direction de sa vitesse soit entre Le O et 8, la valeur de 8 étant celle donnée par l'équation 1, ou 3 l'équation 2, qui correspond à la limite choisie pour la distance périhélie. Donc, d'après la formule 4, cette probabilité est

positif, et négative lorsque « est négatif, est toujours une

(1— cos 6), ou d’après l'équation 2:

Pere (+ =) (6)

Le nombre des comètes de vitesses comprises entre v et ü + dv qui se trouvent à l’intérieur d’une unité de volume située dans la région considérée de l’espace, vers la limite de la sphère d'activité du Soleil, peut être représenté par e(v)dv, o(v) étant une certaine fonction de v. En multipliant l'expression 6 par e(v) du nous avons alors le nombre des comètes visibles (?) dont la vitesse est comprise entre v et v + dv quise trouvent dans une unité de volume, dans la région de l’espace considérée :

TB: Are D'un nipns eo NET Vrehricaelt

(1) De même lorsque 8 varie ensuite de 100 à 200° g diminue constamment.

(2) Nous appellerons les comètes dont la distance périhélie est inférieure à q «comètes visibles »; parce que lorsque pour la limite g on prend une valeur convenable, une à deux fois le rayon de l'orbite de la Terre, ces comètes sont celles qui viennent passer assez près de nous pour que nous puissions les voir. Remarquons que par comèles visibles, nous n’entendons pas les comètes qui remplissent

toutes les conditions de visibilité, mais celles qui remplissent cette seule condition

Le nombre des comèêtes visibles dont la vitesse initiale est entre CE deux limites choisies v, et V qui se trouvent dans l’unité de volume, po :

est par suite

Remarquons toutefois que les formules que nous venons de trouver supposent que le radical

Ve ur

a une valeur réelle, il faut donc que la limite inférieure », ne soit pas plus petite que la valeur de v qui annule ce radical.

3. — Laplace suppose toutes les valeurs des vitesses également probables de o à une certaine limite U, de sorte que la fonction £(v) est constante pour les valeurs de v inférieures à U et nulle pour les valeurs de » supérieures à U. Alors le nombre total des comèles situées à l'intérieur de chaque unité de volume, dans la région considérée de l'espace, est : |

U F delér — Us & désignant la valeur constante de +{v).

Dr En divisant la formule 7, où œ(v) est remplacée par la constante | 8, par la quantité Ug nous obtenons.

D EP RTRE FA me LV)"

: ; que leurs distances périhélies soient res à une certaine limite; de telles comètes pourront ne pas ètre assez grosses pour RSS être vues ou être cachées vs UE la Hans a Soleil. ae

Cette expression représente le rapport du nombre des cométes visibles de vitesses comprises entre », et V renfermées dans une unité de volume, au nombre total des comètes renfermées dans cette unité de volume ; et si nous admettons que la valeur de 4 est la même dans toutes les régions de l’espace situées vers la limite de la sphère d'activité du Soleil, nous pouvons dire que : si nous considérons à une trés grande distance du Soleil, dans les régions de l’espace où son attraction devient insensible, un volume quelconque, par exemple le volume limité par deux sphères de très grands rayons ayant le Soleil pour centre, l'expression 8 représente le rapport du nombre des comètes visibles dont la vitesse est entre v, et V contenues dans ce volume, au nombre total des comètes qui s'y trouvent renfermées. |

4. — Jusqu'ici aucune objection à faire au calcul, il n’en est plus de même dans ce qui suit.

La plus petite valeur de v nous dit Laplace est celle qui rend nulle la quantité placée sous le radical

Vo (i+2) cr

cette valeur, que nous désignerons par w, est donnée par l'équation :

FW = me Pa Ù

| Vi

Désignons toujours par V la limite supérieure que nous adoptons pour la vitesse, et cherchons la valeur de l'intégrale 8 entre les deux

limites w et V. Pour cela posons

a —— ————— — ——————————— . À b V0 (1 T 1) —?gf = rv V1 + 1 — 3 (10) # étant une nouvelle variable, nous avons alors EX Fi NS RS EE > à

Les

l'intégrale que contient la formule 8 devient :

Vies LES à

7 4 a 0 et en effectuant l'intégration nous trouvons :

C est la constante qui entre dans toute intégrale indéfinie. Il faut déterminer cette constante de facon, que l'intégrale annule pour v—=w, d'où 3 — v/29f d'après l'équation 10; cette condition

donne pe æ ve

Re gl (11) ANDoF arte TE 2) + C

et la formule 11 devient :

Ve ie Ve À x (19

2 19 Von drole = 7) te a 21/2/q

Ti r/1+5

En multipliant cette formule 12 Par 25 Let donnant à v la valeur

V, limite supérieure des vitesses, et à 3 “ta valeur correspondante, nous obtenons une formule qui n’est autre que l'expression 8, mais dépouillée du signe d'intégration, et dans laquelle pour la limite inférieure v, nous avons pris la plus petite valeur de v..

5. — : étant une fonction compliquée de v, Laplace cherche à simplifier par un développement en série. Il fait pour cela usage d’une quantité auxiliaire : déterminée par l'équation

Ve (13)

Lt pl de A. À

La valeur de + donnée par l'équation 10 qui répond à la valeur V de la vitesse est alors

Run. Oro (14)

Suivant Laplace, cette formule 14 pourrait s'écrire, en développant en série :

LE KA PRE AS De | 5 te en | EL et cette valeur de + portée dans la formule 12 donnerait V0 (x PUR ee (6)

Il ne donne pas le détail de ces transformations sur lesquelles nous reviendrons plus loin (n® 7 et 8): Admettons donc ici que l'expression 16 soit, sauf de petites quantités négligées, égale à l'expression 12 ; alors en divisant l'expression 16 par 2U nous obtenons la formule 8 transformée et dépouillée du signe d'intégration :

V?of (+ ice af 2Ur (5—1) Ur Vr (7)

Laplace donne cette expression comme représentant la probabilité que la distance périhélie soit inférieure à g et la vitesse

initiale inférieure à —= :

6.— Remarquons maintenant que le demi grand axe de l'orbite a est lié à la quantité :=v V7 par

de — — —

l'orbite est donc elliptique où hyperbolique selon la quantité 2 est se |

inférieure ou supérieure à 2/. Si nous faisons à —— 100 R (parce que nous supposons qu'un orbite hyperbolique dont le demi grand . : Re. Lee