PE LUE
axe dépasse 100 R en valeur absolue, R étant le rayon de l'orbite terrestre, se confond à l'observation avec une parabole, nous trouvons
ver fr__(@O0R+ 7) CS CE MUR
le nombre des orbites dont la distance périhélie est inférieure à g et qui sont elliptiques, paraboliques, où hyperboliques avec un demi grand axe supérieur à 100 R en valeur absolue, s'obtient en portant celte valeur de : dans la formule 17, ce qui donne (!) :
ere 10çVf
(18) QUr ve (200 R + r)
Soit :’ la valeur de : qui correspond à la limite supérieure U des vitesses (n° 3), :‘ =U 1», le nombre total des comètes dont la distance périhélie est inférieure à q s'obtient en faisant dans la formule 17 :—:",ce qui donne (!):
gi (x (7 2Ur (5 4 1) UV | (19)
En retranchant le nombre des comèêtes qui ne sont pas sensiblement hyperboliques, donné par la formule 18, nous obtenons le nombre des comètes qui sont sensiblement hyperboliques :
104 VF HS ET ne 20 20 \/5 (00 R +») M (9)
Le rapport de l'expression 18 à l'expression 20 donne le rapport du nombre des comèêtes nou sensiblement hyperboliques au nombre de celles qui sont sensiblement hyperboliques :
(1) Pour la signification précise de cette formule, se reporter à ce qui a été dit pour la formule 8.
DR us et RSS ere
10 g Vf
Re See d F (200 R +») LU LES
: Er VE (200 R + r)
Cette expression dépend de la limite supérieure U des vitesses, limite qui y entre par la quantité :’; Laplace suppose cette limite U infinie, c’est à dire toutes les vitesses également probables de
zéro à l'infini, alors : — Ur est infinie et l'expression 21.
devient simplement :
Lim DL CT se TES 22 . Va (00 +2) ï (22)
telle est l'expression donnée par Laplace pour le rapport entre le nombre des comèêtes qui ne sont pas sensiblement hyperboliques et le nombre de celles qui le sont ; les distances périhélies étant comprises entre o et q et les comètes sensiblement hyperboliques étant celles dont le den grand axe est entre — 100 R et 0.
La limite des distances périhélies des cométes que nons pouvons voir peut être prise égale à 2R, et le rayon r de la sphère d'activité du Soleil doit être pris au moins de 100 000 R, en faisant dans la formule 22, g —2R, r — 100 000 R, elle devient
rm — ?
ce qui montre qu'il ne devrait y avoir qu'une comète sensiblement hyperbolique pour 5713 qui ne le seraient pas.
Laplace cherche ensuite à prouver que la probabilité des orbites sensiblement hyperboliques est encore diminuée par ce fait que le nombre des cométes qui nous échappent n’est pas le même pour toutes les distances périhélies. Cette seconde partie du calcul n'étant pas nécessaire pour ce que j'ai à dire, je la laisse de côté ; je reviendrai d’ailleurs sur cette question dans le second chapitre (n°$ 42 et 53).
Remarques sur le calcul de Laplace. k
7. — Gauss et plus récemment M. Schiaparelli ont fait sur le calcul qui précède des remarques fort justes que nous allons utiliser pour - indiquer les rectifications à faire.
D'abord on ne voit pas pourquoi Laplace considère comme plus petite valeur possible de la vitesse vw, celle qui annule le radical
$ | \/r° (1 + 1) — ?qf
pour de plus petites valeurs de w ce radical devenant imaginaire les formules 7 et8 sont en défaut, mais la distance périhélie est toujours inférieure à g quel que soit l'angle (‘) 6, c’est donc à tort que ces ne valeurs ont été laissées de côté.
| Toutefois ceci ne ferait que rendre encore plus forte la conclusion 74 finale, que les orbites sensiblement hyperboliques doivent être très rares, puisque les valeurs de vw négligées correspondent toutes à des orbites elliptiques. k
Mais le développement en série du n° 5 dont Laplace ne donne pas le détail est soumis à une objection plus grave. Nous remarquerons d’abord que la transformation opérée est exacte dans le cas où : est une. quantité- finie de grandeur modérée, ou pour mieux préciser est une quantité du même ordre que vf. Voici en effet dans ce cas comment on peut passer des formules 12 et 14 aux formules 15 et 16:
(4) La formule ? montre que pour la valeur de » qui annule le radical et 8 = 100 la distance périhélie est égale à q. Si maintenant $ reste égal à 100cet que © diminue la formule : LS . F aphélie qui pour 8 — 100€ n’est autre que r reste fixe, il faut que la distance périhélie diminue. Si ensuite $ devient différent de 100, nous avons vu (n° ?, formule 5) que la distance périhélie diminue forcément encore.
montre que & diminue, et comme la distance
Nous pouvons regarder ! comme une petite quantité du pre-
mier ordre et faire le développement en série suivant : Fig di
PAR 7 RCE es | ART NT ET ee :
et comme :
nous trouvons :
2qf IR MER À € 6 mme mme met D 0 BR per om De ee Ver Re ; \/ er (142) ie OA Lara
en ne conservant dans le second nombre que les quatre termes écrits nous négligeons les termes d'ordre supérieur à se la parenthèse de la formule 14 devient alors
Rene à
mnt ms porn
ENS Een -
gr épi
en multipliant cette expression par : > V1 +1 et remarquant que
la formule 14 devient
sr (-iisien)
4 it (-0) | z En
Le CAT
ou bien
= + | | Es + Cette formule est identique à la formule 15, on peut la diviser i en deux facteurs, le premier est AN RRNURE DE
EE 2 RES ;! . vo. :
CR \te
… { ® ) L re Le] be
Le
Ste les termes négligés dans le facteur placé entre crochets renferment au moins la seconde puissance de 2
Il faut maintenant dans SN 12 remplacer 3 par sa
valeur 23 et par V ou —=, nous allons conduire le calcul de
VE facon à négliger finalement le carré et les puissances supé-
rieures de 1. De l'équation 23 nous déduisons
drest-f pts) o
… 2 dans le facteur entre crochets sont négligés les termes en (£) et
ceux d'ordre supérieur. Nous avons aussi, par la formule connue du développement de arctex,
. 3 ee
b — ET Vi UV
ae er)
D'après 23, puisque 7 et : sont deux quantités du même
ordre, le terme er est du même ordre de grandeur que eg / .
4 3 VE ; et le terme'en 4 est du même ordre que (27
Au moyen des formules 23, 24, 25 nous trouvons, en négligeant les termes d'ordre supérieur à (!) 7
MP SET pr 5 gl (ZA APR. :
< a 1 i RS nn tn et Apr 26 CS 5 2 V/2qf'arctg Va x Me ; de (26)
multiplions cette expression par
" s i r 3 Her nous négligeons 18 ponent au moins ss (2) ‘
Eee 18 TR , .
Comme les termes négligés dans la formule 26 sont d'ordre j supérieur à 1; ils donneront, dans le produit de 26 par 27, des :
termes d'ordre supérieur à D et si nous négligeons dans ce ? na , P LES produit tous les termes d'ordre u et supérieurs, nous trouvons : Mb —…. "< vi=i : :
VE sipuu 2 -{)--1 ee 0 4
V2 af dl % PE A Le
pour avoir l'expression 12 (avec & remplacé par V}), il faut l ajouter à cette quantité 28 : F.
Tr (29)
et
