PE

CR Vi d'ou

qui, en négligeant À Z , est égale à V2 V2qf NU LU à (30)

De sorte que l'expression 12 devient (Rabat, par l'addition des quantités 28, 29, 30 : et

ce qui est bien la formule 16. Ainsi les termes négligés dans cette Ne formule renferment au moins la seconde puissance de 1; TA et Fe

sont bien négligeables relativement aux termes cr OR en effet il n° y a d' abord pas de difliculté Ur ceux qui prov ienn t

con U LeT7 ( Ho FL 2 quantité

). Ceux qui proviennent de 23 el 25 renferment Ja

RP aide 1 PARENT

le rapport de cette quantité an second terme de la formule 16

est È » donc très petit. Enfin les termes négligés qui proviennent

de la formule 24, renferment la quantité

ë Ne Ur X (4) e-

le rapport de cette quantité au second terme de la formule 16 est 1° . è ; : : Cie F X 1, il est donc très petit si, comme nous l’admettons ici, : et

v’f sont du même ordre de grandeur.

La formule 16 peut donc bien remplacer la formule 12 dans le cas où : est une quantité finie de grandeur modérée (du même ordre que vf). Mais à la fin du calcul, pour obtenir la formule 22, on a supposé la limite supérienre des vitesses U infinie, et par par suite : infinie ; dans ce cas la quantité : V7 x (£ ÿ x} qui entre dans certains termes négligés devient infinie et ces termes ne sont plus négligeables par rapport aux termes conservés qui restent finis. Donc, si on pousse le développement plus loin que Laplace on trouve des termes qui deviennent infinis pour : infini, et dans ce cas la formule 16 cesse d’être égale à la formule 12. D'autre part il suffit de remarquer que nous avons remplacé l'intégrale de la formule 8 par la formule 16; or lorsque la limite supérieure V devient infinie

l'intégrale devient infinie, la formule 16 au contraire se réduit à son

premier terme qui n’est pas du tout infini. Il est donc bien évident que la formule 16 ne peut pas remplacer la formule 12 dans le cas où la limite supérieure des vitesses est infinie.

D'ailleurs, comme le fait remarquer Gauss, la supposition que toutes les vitesses sont également probables de o à + est inadmissible, car cette supposition ne laisserait qu'une probabilité infiniment

petite pour chaque vitesse finie, par conséquent les orbites voisines de la parabole seraient infiniment peu probables, et toute la probabilité serait au contraire pour des orbites quine se distingueraient pas de lignes droites et seraient parcourues avec des vitesses infinies ().

8. — Nous ne pouvons donc pas supposer U infinie, mais même dans le cas où nous choisissons pour cette quantité une valeur finie, le développement en série a besoin d'être rectifié ; en effet, les vitesses des corps célestes sont du même ordre de grandeur que la vitesse de la Terre dans son orbite, dont la valeur est

V£ si donc UÙ et V sont des grandeurs de cet ordre, : est du

A = (is , ps Inémeé-Ordré que 17 VE or les développements précédents ne Le

sont rigoureux que si : est du même ordre que 1/7. En réalité la quantité : renfermant V7 en facteur son introduction masque l'ordre véritable de certains termes, nous devons donc reprendre le développement en laissant : de côté et conservant V dans le calcul. La formule 14 devient alors :

:=vr\/i+t A ee UE (31)

que nous développons comme au n° 7 de la manière suivante :

MR re Las qf LR à à L gp \/1 V?r? (1 “e is TE 7 Vire + V3 L'o V2ri = 5 Vans ee SERRE

En ne conservant que les cinq termes écrits nous négligeons

l ; tous les termes qui renferment au moins en facteur, la pa-

renthèse de l'expression 31 devient :

(1) Ilest à remarquer que par la manière dont Laplace conduit son calcul, il fait U infinie seulement implicitement en supposant t infinie; c'est peut-être pour cela qu’il n’a pas réfléchi aux conséquences de cette supposition.

et en multipliant Vr \/1 +1 nons trouvons

La US PINS NS a RE (LE 9 Vars T8 Vire )

Les termes négligés dans la parenthèse renferment au moins

nr. => et après multiplication par le facteur Vr ils renferment encore

il à Dre — au moins. Cette formule peut s’écrire

Ici les termes négligés dans la parenthèse renferment au

+ Nous tirons de cette valeur de & :

— , PERS CR CR à 5%) ue ; fe Ra Lr+it-#(+ide (33)

» 1: . : : 1 les termes négligés dans la parenthèse renferment au moins el

moins

facteur, donc les termes négligés dans la valeur totale de 1 venne. ferment au moins + À É:= D'après la formule 25 nous avons

ee 2 Du d SNS BAC EP (4 V2qf Ma | | De

arctg

le terme en + renfermerait déjà = en facteur. Les formules 32,

DD 00704 donnent en négligeant les termes en =:

DEV Ra Dao d | 52—E( 25%) x Se rafarte LE 7 BT2Vy

TEE L SC

no: Î en multipliant par —— et négligeant les termes en - et su-

périeurs nous obtenons

VTT: z 7 2Vr

1 5 Vi (2 V2 qf arctg -1)- Re vf (1. LEE F)] (35) "0 En ajoutant à cette formule 35, V et la quantité

ns 1252 LOVE VW

T 1 4 ue r\/1 + < (id : - : Ë l : : A .

qui en négligeant -; est égale à 4 Er Lee: 10 FAUXS 2r E nous trouvons | CSS ÉHES ( 19 nas Apart | e 2 1) =$t)+55 see Va. ae

Cette expression est égale à la PU 12, où v a été remplacée e par #,-en aégligeant les termes en = € supérieurs. ;

Il importe de bien voir si les termes négligés dans la formule 36 sont réellement négligeables. D'abord si V est une quantité du

même ordre de grandeur que la vitesse de la Terre VE ue

suffit de suivre le calcul pour voir que les termes négligés sont trés petits, nos développements en série sont basés sur le fait . mn

que dans la DRE 31 la quantité LE LR est très petite, si Vet

du même ordre de grandeur que Ve » cette us ea même ordre que CURE donc trés petite. Mais |

termes négligés renferment V au numérateur on au dénominateur, nous devons examiner ce qui se passe lorsque la vitesse V est

grande ou petite.

D'abord si V est grande les termes qui renferment cette vitesse S en dénominateur sont encore plus petits, reste ceux qui la ren- | ferment au numérateur. Ceux-ci proviennent uniquement de la formule 33, ce qui montre qu'ils ne renferment au numérateur que la première puissance de V; au dénominateur ils renferment à r# (dans la formule 36), tandis que les termes conservés renferment j seulement 7 ou 7?, il faudrait donc que V soit extrêmement grande É pour que la valeur des termes négligés soit sensible, et même, dans ce cas, leur valeur sera toujours très petite relativement

lL @ , au terme > LV conservé dans la formule 36 (1.

Examinons maintenant le cas où V serait très petite, nous admet-

trons cependant qu'on ne fait pas descendre cette vitesse beaucoup au-dessous de la vitesse parabolique à la distance 7, il n’y aurait d’ailleurs aucun intérêt à la faire descendre plus bas. Notre déve-

2af V?r?

loppement en série est basé sur la petitesse de la quantité

(formule 31), si V est de l'ordre de la vitesse parabolique V# , la quantité __ est de l'ordre de grandeur de 1, elle est moins petite que lorsque V est comparable à la vitesse de la Terre, mais elle est encore trés petite et nos développements en série peuvent se faire. En suivant alors ces développements et en tenant

À RU en compte de ce que V est du même ordre que VE on voit que

les termes négligés dans la formule 36 renferment le facteur

(1) Il semble au premier abord que le même raisonnement pourrait être fait pour la formule 16, les termes en : proviennent de la formule ?4 et sont très petits relativement aux termes conservés ; mais il n’en résulte pas que les termes négligés dans la formule 16 sont toujours négligeables, parce qu’à la fin du calcul ces termes conservés dans la formule 24 sont détruits par la quantité 29 qui leur est égale et de signe contraire. i

— X — 4 | { : : x #7.” ils sont donc beaucoup plus petits que les termes conserves L , et en particulier que le terme — Fu qui renferme seulement le à Éé ; 1 ; (l | 4} 7 4 At | ; 2 | +4 facteur pe (puisque V renferme =) Quant au terme 5,3 Vo à : Éd 2f TS dans le cas où V est comparable à la vitesse parabolique VE : | il est de l'ordre des termes négligés et pourrait être supprimé : x dans la formule 36. 4 Si nous comparons les formules 36 et 16, nous voyons qu'elles me ne sont pas identiques, car en remplaçant : par V7 la formule 16 devient .

W?qf (5 = i) ail A % Vr?

ce qui diffère de la formule 36 par l'absence des deux termes, savoir : e

[l — {7 4 = GE Va (5—1)+ 58

Si nous avions omis ces deux termes, qui sont cependant du même

ordre que le terme conservé — # = , cela tient à ce qu'en tie “ie

faisant usage de la quantité : qui renferme V7 nous masquons l'ordre véritable de certains termes, à moius toutefois que : bien

que renfermant v/# ne soit pas grande, comme nous l'avons vu sd

n° 7, et en effet dans ce cas Ve est une quantité du même r

ordre que = et les termes par lesquels les formules 36 et 16

différent deviennent d'un ordre supérieur de 5 unité pour le

premier, d’une unité pour le second, au terme conservé — LE PRO AT |

1 8) A Dr

Dans la formule 36 nous avons négligé les termes en 3 si

ST nd

nous nous étions’contentés de négliger ceux en “+ elle se serait réduite à une constante ne renfermant plus la vitesse V. Remarquons aussi que si V devient infinie la formule 36

VEN |, AS , devient infinie, par le terme SV ce qui s'accorde bien avec

ce qui à été dit à la fin du n° 7.

9. — Nous pouvons maintenant rectifier le calcul de Laplace. D'abord il faut tenir compte des vitesses inférieures à la valeur

qui annule le radical \/r (1 + 1) — ?qf

comme ces vitesses correspondent toutes à des distances périhélies inférieures à q, il faut à l'intégrale de la formule 8 prise entre w et V ajouter

r fa —=A0 avec VE —— 4 ( # G: ; "\/ {0 .

la formule 12 devient alors

CA VÉte

ni:

1) Hovo rm (37) . r

+ ONVCar ar