CHAPITRE II

Les Grandeurs géométriques.

§1®'. — Le contimt géométrique.

Il faut d'abord que je réponde à une objection qu'on ne manquerait pas de me faire. Si, avant toute géométrie, je considère comme établie la science du nombre, c'est évidemment pour m'appuyer sur cetle science et pour introduire le nombre dans l'étude de la géométrie ; c'est en effet mon intention.

Mais c'est une opinion assez courante chez les mathématiciens que la géométrie doit être établie indépendamment de l'arithmétique : ce sont les géomètres modernes, dit-on, qui ont introduit le nombre en géométrie, mais Euclide s'était bien gardé de commettre cette erreur. Or, ce sont là des affirmations absolument inexactes. En ce qui me concerne, j'ai essayé de me passer du nombre en géométrie et je n'ai pu y arriver; si d'autres croient la chose possible qu'ils nous la donnent, celte géométrie, pure de la notion du nombre. Mais Euclide? Euclide fait absolument comme les modernes, et s'appuie sur la notion du nombre dans une foule de démonstrations de sa géométrie. Exemple :

Soient quatre segments de droite a et a\ b et b' proportionnels, ce qui, à l'aide des signes aujourd'hui employés, s'exprime

par la formule t-=t7. Voici comment Euclide défininit cette proportionnalité : multiplions d'une part a et 6 par un même nombre entier quelconque m, puis d'autre part, a' et b* par un second nombre entier quelconques; on a évidemment entre m a et n a l'une des trois relations suivantes :

m a = n a' ou ma>>n a ou m a<Cn a" expressions oxxma Qina sont des segments de droite et où les

signes d'égalité et d'inégalité s'entendent au sens purement géométrique.

Il y a proportionnalité, dit Euclide, lorsque chacune des trois relations ci-dessus entraîne Tune des trois autres relations :

mb = nb' ou m b^nb' oa mb<inb\

Cette déûnition est donc, en raison de l'introduction de nombres entiers quelconques m et n. d'origine essentiellement arithmétique.

On trouve également le nombre dans la démonstration du théorème : € Dans un cercle , les arcs sont proportionnels aux angles au centre. » Euclide considère en effet dans cette démonstration un angle au centre a contenu un certain nombre de fois dans un autre angle a' puis un arc a (correspondant à l'angle a) contenu le même nombre de fois dans un autre arc a' (correspondant à l'angle a').

C'est donc un point bien établi qu'Euclide, dans sa géométrie, suppose le nombre connu, et je le répète, en ce qui me concerne, je ne vois pas la possibilité de se passer du nombre en géométrie.

Je vais montrer maintenant combien il est facile, par de simples définitions et sans aucun axiome, de déduire de la série continue du nombre les propriétés fondamentales des grandeurs géométriques.

La définition d'une figure géométrique peut comporter une certaine indétermination en vertu de laquelle cette figure est susceptible d'une infinité d'états ; par exemple, un segment de droite porté sur une droite à partir d'une origine fixe et dont le point terminal est quelconque sur cette droite; de même un angle ayant un côté fixe et un côté quelconque; un cercle de rayon quelconque, etc.

Dans une quelconque de ces figures, chaque état se distingue de tous les autres par ce fait que deux états ou si l'on veut deux exemplaires d'un même état se reconnaissent à l'aide du principe de l'égalité géométrique que nous admettons ici et qui consiste, comme on le sait, dans la possibilité de superposer deux figures.

D'autre part, dans ces figures, les divers états peuvent se sérier d'une certaine façon : ainsi soit le segment variable OM, on

peut toujours classer les divers états de M de telle façon que si le point M est compris entre les points et mm' M' le segment OM précède le segment OM'. ° • — ^

De même pour la circonférence de rayon OM on peut classer ses divers états dans le même ordre que les états du segment OM.

Ceci dit, voici comment je définis le continu géométrique à l'aide du continu numérique.

Soient deux états E et E' d'une figure à forme variable, comme celles dont je viens de parler ; les divers étals de celte figure étant sériés, je prends un état quelconque e intermédiaire entre Ë et E'; je dis que la figure considérée est à variation continue entre les deux états E et E' lorsqu'on établit, soit par définition, soit par démonstration, une correspondance univoque entre chaque état intermédiaire e et un terme de la série continue des nombres. Ainsi E et E' correspondant respectivement aux nombres p et q, par exemple, e correspondra à un nombre compris entre p et q, et réciproquement un nombre quelconque compris entre p et 9 caractérisera un état compris entre E et E'. En un mot la correspondance est univoque.

C'est en cela que consiste le continu géométrique. Cette définition qui introduit le nombre en géométrie a une importance capitale sur laquelle je reviendrai \

Mais je vais d'abord montrer qu'il suffit de mettre le continu géométrique dans la définition de la ligne droite seulement. Convenons, pour simplifier le langage, d'exprimer par l'expression ligne droite continue, que le segment

M est à variation continue. Dès lors X — « ' — x'

je compléterai simplement la définition

ordinaire de la ligne droite en disant : c La ligne droite est une ligne continue telle que deux points la déterminent. »

Cette définition suffit pour introduire le continu numérique dans toute la géométrie.

Prenons en effet un angle variable AOB découpant sur une droite fixe un segment variable AB: à chaque position du point B correspond un angle AOB ; il y a donc une correspondance uni-

1. On peut, bien entendu, envisager aussi, dans la figure géométrique, une série d'états imaginaires correspondant à la série des nombres imaginaires.

voque entre l'angle AOB et le segment AB; par conséquent, la correspondance univoque qui existe entre A B et le nombre variable n existe aussi entre ce nombre n et l'angle AOB; donc cet

angle est aussi une figure à variation continue.

On démontre de même, en rattachant l'arc variable d'un cercle donné à l'angle au centre qui intercepte cet arc, que l'arc est, comme l'angle, une figure à variation continue.

En résumé le continu géométrique une fois défini dans la ligne droite se démontre pour toutes les autres figures.

Ici je ferai une remarque qui montrera bien qu'au fond la méthode que j'indique ne fait que revêtir de définitions précises des notions que les auteurs ont l'habitude d'introduire inconsciemment dans la géométrie. A chaque instant, en efTet, les géomètres parlent du milieu d'une droite, de la bissectrice d'un angle ; or, on ne pourrait pas être certain de l'existence de ce point milieu ni de cette bissectrice si la ligne droite, par exemple, n'était

pas continue. Dans une ligne discontinue A B

' il n'y a pas nécessairement un point milieu. Je dirai même plus : voici deux segments de droite dont les extrémités coïncident deux à deux ; on admet alors que les deux segments coïncident point par point dans toute leur étendue, mais cela peut n'avoir pas lieu si la ligne droite n'est pas continue, car il peut arriver que les pleins et les vides des deux segments ne se correspondent pas : dès lors si l'on n'est pas assuré que deux segments qui ont mêmes extrémités coïncident entièrement point par point, on se trouve arrêté dès la première démonstration de la géométrie.

Donc, puisqu'on est de toute façon obligé d'introduire dans la droite la notion du continu géométrique, n'est-il pas plus rationnel, plus rigoureux de le faire dès le début et explicitement, en donnant tout de suite une définition complète de cette ligne, c'est-à-dire une définition qui comprenne et énonce cette propriété du continu ?

Maintenant, je reviens sur ce point que, pour définir le continu géométrique dans la ligne droite, ce qui suffit pour toute la géo-

métrie, je m'appuie sur le continu numérique. Gela est capital au point de vue où je me suis placé ; la géométrie tout entière est, en effet, subordonnée ainsi à la notion du nombre et du continu numérique. Il est bien évident que les formes pures de la géométrie ne sont plus les formes des corps qu'étudie la physique. Aujourd'hui la science admet volontiers que lescoips sont composés de molécules séparées les unes des autres et d'ailleurs en vibration: évidemment la forme purement géométrique est autre chose que cela et cette différence, M. Poincaré nous l'a nettement signalée en opposant le continu mathématique au continu physique. Mais le continu géométrique n'est qu'une simple transposition du continu numérique dans la notion de la forme ; donc, en résumé, c'est le continu numérique, c'est le nombre qui caractérise la forme géométrique et la distingue de la forme physique. La géométrie, c'est la science de la forme arithmétisée, si l'on veut me passer cette expression ; et c'est parce que la géométrie est une application de l'analyse, qu'elle comporte l'emploi du raisonnement mathématique et que toutes les propriétés des figures peuvent se traduire en formules et donner lieu à ce qu'on a appelé la géométrie analytique : j'ajoute que suivant les questions géométriques qu'on étudie on peut se borner à introduire en géométrie le nombre arithmétique, ou, au Contraire, avoir avantage à introduire dans la forme le nombre algébrique ou le nombre imaginaire.

Une petite modification dans le langage usuel fera du reste mieux ressortir le lien qui rattache la forme continue au nombre. Prenons la série continue du nombre et appelons chacun de ses termes un état du nombre continu. On voit ainsi que les états successifs de ce que j'ai appelé une forme à variation continue correspondent un à un aux états successifs du nombre et comme finalement les signes concrets par lesquels on convient de figurer les nombres (chiffres arabes, chiffres romains, numération parlée, etc*..) sont absolument arbitraires, il est bien évident que les états successifs de cette forme à variation continue sont une écriture particulière du nombre continu.

Ainsi le segment de droite variable, sous ses diverses formes, n'est qu'une façon spéciale d'écrire la série du nombre continu.

§ 2, — Définition des grandeurs géométriques.

Soit, dans une figure à variation continue, e un état quelconque auquel correspond le nombre x, ce que je traduirai par l'expression e^. Prenons une équation x = f (y) exprimant une relation univoque entre x eiy; il est évident que la correspondance univoque qui existe entre e et ^ en entraine une seconde du même genre entre e et y. Donc quand il existe une correspondance univoque entre une forme et un nombre, il en existe une infinité. Il y a donc là une indétermination qui permet d'imposer à cette correspondance des conditions supplémentaires.

Ceci dit, je considère le segment de droite; on peut réunir deux segments bout à bout sur une même droite et formei*^insi par leur ensemble un troisième segment.

De même pour deux arcs de cercle de même rayon.

De même aussi deux angles ayant leur sommet commun et juxtaposés par un côté forment un troisième angle.

Si donc on considère l'une de ces trois figures, lesquelles sont à variation continue, elle jouit de la propriété suivante :

Deux états quelconques de cette figure peuvent toujours être groupés d'une façon déterminée et donner ainsi par leur ensemble un troisième état de la même figure.

C'est en cela que consiste la propriété fondamentale du groupement, laquelle caractérise seulement un certain nombre de figures géométriques.

Je vais maintenant étudier spécialement les figures géométriques à variation continue qui jouissent de cette propriété du groupement.

Soit e^ l'état qu'on oblient par le groupement des deux états e eie , p,q eXr étant, bien entendu, les nombres qui correspondent à ces trois états. Ainsi que je l'ai dit, cette correspondance entre les nombres et les états est indéterminée, de sorte qu'on peut imposer aux nombres de remplir certaines conditions. Dans le cas actuel j'imposerai aux nombres p, q eir la relation r=^p + q qui exprime que, dans le groupement considéré, le nombre de rélat fourni par le groupement est la somme des nombres des

deux premiers étals. Mais cette relation ne fait pas encore disparaître complètement l'indétermination, et en effet si la relation r=p + 9 est satisfaite pour une correspondance, elle l'est aussi pour toutes les autres correspondances qu'on obtient en modifiant proportionnellement à eux-mêmes tous les nombres. Mais l'indétermination cesse lorsque, en même temps qu'on s'impose cette relation, on se donne un état déterminé et le nombre correspondant. Selon l'usage je me donne l'état qui correspond au nombre 1 , soit ^1, que j'appellerai l'étal unitaire. Dès lors, chaque état a un nombre bien déterminé et un seul, et inversement. Dans ce système, le nombre d'un état quelconque est ce qu'on appelle sa mesure par rapport à l'état unitaire.

Soit une série d'étals e^ e e. e^y et l'état unitaire e^. Remplaçons la correspondance numérique a, p, y, 5 et 1 par une autre correspondance où e^ deviendra l'état unitaire : les deux séries numériques se correspondront donc comme suit :

et 4 P' y' 8' «•

J'ai montré que pour répondre à la relation r =p H- ç ces deux correspondances devaient avoir leurs termes respectivement proportionnels: on aura donc -;r = ê =-,=...=- et par suite

P' = -, Y == -, etc.. ce qui exprime celte propriété fondamentaie que lorsqu'on prend l'état e^ pour nouvel état unitaire, la mesure de l'état e^ devient, av^c l'état unitaire e^., P' = -, c'est-àdire la mesure primitive ^ divisée par le nombre fixe a.

C'est la règle relative au changement de l'état unitaire.

Je rappelle à nouveau que la formule de l'addition r =p + ç est absolument indépendante du choix de l'état unitaire.

Ceci dit, je prendrai, et c'est là une définition, les signes de l'addition numérique pour exprimer le groupement des états et j'écrirai e^ = e +e équivalent à r=p + q. Le mot addition, pour les étals, remplacera donc simplement le mot groupement. J'écrirai de même e = e^ — e pour p = r — q. Je dirai, toujours

par définition, que le produit d'un état par le nombre n est le produit par n de la mesure de cet état, ne =e^ : toutes les opérations dont je viens de parler jusqu'ici donnent comme résultat un nouvel état ; au contraire, quand je définis le rapport des deux

états -^ le rapport numérique -, le résultat de l'opération est un

nombre.

Ajoutons plusieurs états e^ + 6? + e^ +... = e^, s élant la somme a + p +... ; soit n le nombre des étals ajoutés ; si tous ces états sont égaux, on a a == p = y =... et « =?i a, d'où n ^^ = e, = Cna ; c'est la formule précédente où n est un nombre entier ; e»» est ainsi la somme de n états égaux à e^.

Je n'insiste pas davantage sur ces diverses formules dont les conséquences sont pour ainsi dire évidentes; c'est ainsi qu'on a, par exemple, c» H- a^ = e^ + e^ parce qu'on aa + P=P + a.

Mais, pour éviter tout malentendu, je tiens à bien préciser le sens de la formule a» = e« correspondant à a = a : il faut bien remarquer que cette formule ne définit nullement l'égalité géométrique de deux états, car cette égalité est admise antérieurement à toute celte théorie, sert de base à la définition du continu géométrique et nous permet seule de différencier par des nombres différents des états différents de la figure variable. La formule ea==e« emprunte donc simplement le signe = à l'arithmétique pour exprimer (et non définir) l'égalité géométrique de deux états d'une même figure.

On a évidemment reconnu, dans ce qui précède, les propriétés d'un certain nombre de grandeurs géométriques, et ce que j'ai appelé les divers états d'une figure a variation continue jouissant ' de la propriété du groupement ne diffère pas de ce qu'on appelle habituellement des grandeurs de même espèce.

Mais en géométrie le mot grandeur a un sens plus général ; il peut y avoir en effet des grandeurs dans des figures variables qui ne possèdent pas la propriété du groupement : je me bornerai à citer la grandeur désignée sous le nom de longueur d'un arc de courbe. Si l'on prend sur une ellipse, par exemple, deux arcs, en général on ne peut les réunir^ sans les déformer, de façon à obtenir un troisième arc de cette même ellipse. Mais on sait qu'on

peul toujours comparer un arc d'ellipse à un segment de droite ; on dit alors, et c'est là une définition, que la longueur du segment de droite est la longueur de Tare. Je n'ai du reste rien à dire de nouveau sur cette question connue.

§ 3. — Les aires et les volumes.

Les aires et les volumes sont des grandeurs qui demandent une mention spéciale en raison des particularités qu'elles présentent. Prenons d'abord les aires. Nous avons tous le sentiment de ce qu'est une aire comprise dans un contour fermé : mais ici, pour être rigoureux, je dois donner une définition exacte; voici les deux propriétés caractéristiques que je prendrai comme définition.

1* Quand deux contours fermés sont égaux, c'est-à-dire superposables, ils enferment des aires égales.

^ Quand deux contours complètement extérieurs l'un à l'autre sont groupés ou juxtaposés de façon à avoir une partie de contour commune^ le nouveau contour fermé qu'on obtient en supprimant cette partie commune enferme une aire égale à la somme des aires des deux premiers contours.

Celte seconde propriété, qui est la propriété caractéristique du groupement, range l'aire parmi les grandeurs étudiées précédemment. Cependant je note cette difiérence que le mode de groupement de deux contours est possible d'une infinité de façons, tandis que, pour les segments de droite, les angles, etc., il n'y a qu'un mode de groupement. De cette indétermination dans le groupement des aires résulte la proposition suivante :

Deux contours fermés qui sont des groupements différents de contours égaux ont même aire, cette aire étant la somme de celles des contours partiels deux à deux égaux dans les deux contours totaux. Ces contours totaux forment ce qu'on appelle des figures équivalentes.

Considérons un contour A M BN qui, à la limite, se réduit à la ligne AMB; adjoignons à ce contour un contour ABC DE d'aire S, si s est Taire du con-

tour AMBN et S' Taire du contour tolal ANBCDE, on a S' = S + s. Mais à la limite, quand le contour AMBN se réduit à la ligne A MB, les deux contours ANBDAetAMBDA deviennent deux figures égales et par conséquent de même aire : on a donc, dans ce cas, S' = S ce qui exige 5 = 0. Ainsi une aire s'annule quand son contour se réduit à une ligne et à plus forte raison à un point.

Ces principes posés, la théorie des aires s'établit à la façon ordinaire. Ainsi deux rectangles ayant un côté commun a et deux bases différentes 6 =pP et 6'=p'p sont le premier un groupen>ent de p rectangles de côtés a et p et le second dep' do ces mêmes rectangles. Si A, A' et a sont les aires des deux premiers rectangles et du rectangle partiel de côtés a et p, on a

k = poL et A' = «'a: d'où ^=^ = ï^. Ces aires des deux ^ ^ ' k p b

rectangles sont donc dans le rapport des deux côtés 6 et 6'.

De là on déduit que les aires de deux rectangles quelconques sont dans le rapport des produits de leurs côtés.

On passe du rectangle au parallélogramme et du parallélogramme au triangle. Je n'insiste pas sur ces démonstrations connues.

La théorie des volumes repose sur des définitions tout à fait analogues.

l"" Deux polyèdres égaux, c'est-à-dire superposables, ont même volume.

2*" Un groupement de deux polyèdres juxtaposés, complètement extérieurs l'un à l'autre, a pour volume la somme des volumes de ces deux polyèdres.

Ces deux propriétés réunies contiennent la définition complète des volumes.

On en déduit immédiatement la conséquence suivante :

Si deux polyèdres sont des groupements différents de polyèdres partiels deux à deux égaux, ils ont même volume.

Après quoi la théorie des volumes s'établit à la façon ordinaire.

Maintenant que nous avons passé en revue les diverses grandeurs de la géométrie, faut-il essayer d'en déduire une définition générale de ces grandeurs ? Je ne le crois pas et je préfère con-

dure en montrant qu'au contraire il y a dans ces diverses grandeurs trois types bien distincts qui ne peuvent se ramener à une définition unique.

Ces trois types de grandeur ont en commun la propriété fondamentale du continu géométrique.

Le premier type, segment de^drôîte, angle, arc de cercle et arc d'hélice, jouit seul de cette propriété que deux grandeurs de même espèce donnent, par un groupement qui est unique, une troisième grandeur de même espèce, dite somme des deux premières.

. Le. $econd type, aires et volumes, jouit également de la propriété du groupement, avec cette différence importante que lé groupement de deux aires ou de deu^ volumes peut se faire d'une infinité de façons, la somme restant Id même. , ..Qnfia dans le troisième type, arc de courbe^ la propriété du groujpeBiieat n'a jplus de sens.

Voilà donc toutes les grandeurs géométriques classées en trois 'typed-parfiiiteinem défiais.