CHAPITRE I
38. Calcul de la distance angulaire apparente de Pétoile au centre de la Lune. — Soient, à Tinstant observé 6 (temps sidéral) d'un phénomène d'occultation :
A, a, S, t la distance, les coordonnées équatoriales et Tangle
horaire géocentriques de la Lune ; A', a', S', f la distance, les coordonnées équatoriales et l'angle
horaire apparents du même astre ; a^, S^ les coordonnées équatoriales apparentes de l'étoile ; ir la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune ; d la distance angulaire apparente de l'étoile au centre de la
Lune; D cette même quantité rapportée à la distance A.
Si l'on pose
^ A' / = - et t' -t — T,
les formules connues
/ COS 8' COS T := COS 8 — p COS <p' SÎD ir cos t^
(i) { /cosô'sioTrn + pcoscp'sÎDir sin ^»
/ sio 8' =: sio 8 — p sic cp' sin tt, a' = ot — T
(dans lesquelles p cosç', p sinç représentent comme on sait les coordonnées rectangulaires géocentriques du lieu d'observation, dans le méridien) permettront de calculer les coordonnées apparentes de la Lune, pourvu que Ton ait, au préalable et avec l'argument 6, tiré des Tables lunaires les quantités a, 8, ir.
Si d'autre part, en tenant compte de la précession et de la réduction au jour, on a, à l'aide des Catalogues, calculé les coordonnées apparentes de l'étoile, on obtiendra la distance angulaire apparente d par la formule
cosû?=:sin8^ sin8'-h cos§^ ces 8' cos(a' — a^).
Pour simplifier le calcul on introduit l'angle de position P ; en effet, en posant
on a
formules que l'on s'est assuré être suffisamment exactes au point de vue numérique.
La distance angulaire d rapportée à la distance A devient évidemment
Cette quantité D va être comparée au demi-diamètre tabulaire rdela Lune, en vue de former une équation de condition.
39. Équation, de condition. — Si les quantités qui ont servi à calculer D étaient exactes ainsi que le demi-diamètre tabulaire r, on aurait H ^=r. Donc, si l'on suppose les erreurs suivantes :
AO sur le temps d'observation ; Aa j[ , A8 j sur la position de la Lune ; Aa,, AS^ » l'étoile;
Ar sur la parallaxe;
MÉTHODE DE RÉDUCTION. g3
d'où il résulte l'erreur
AD sur D,
et si Ton appelle
Ar la correction au demi-diamètre tabulaire, on aura l'équation de condition cherchée
D — r = Ar — AD,
dans laquelle il ne reste plus qu'à calculer AD. Pour cela négligeons A/, quantité de second ordre, et posons
Azi=/sinPcos8,, Bz=/cosP,
on trouve, eu égard à(2) et (3),
AD =— AAa'— BAo'-i- A Aa^ -h B Ai^ ;
d'ailleurs les formules (i) donnent
A^ rziAO — Aa, Aa' z= Aa — AT,
OÙ l'on a
-+-M = -- — 2: sinr, M = sin cos sin(a'— a),
rigoareusement sensiblement
-T- z=, — L =^-— j— î— 57 — cos/', L = cot sin(a'— a),
dt /cos8' ^ V /»
dt
ffï p sin8sinT
58 ~"'^^"" /cos8' '
cos (8 — 8') — a sin8 sin8' sin* —
d^ . pcostp'cositsin/' . a' — a
&K /cos 8' TT
dV pco8ic(cos9'sîn8'cos/' — 8incp'cos8') 8' — 8
<7r / it
Soient encore (jl et v les mouvements, en ascension droite et en déclinaison, de la Lune (exprimés en secondes d'arc) pendant ~ de seconde de temps ; on a
Aa = Aa^ + H^^^»
a8 = A8^ -hvAB,
et les formules (4) deviennent
A^ = A6 — Aa^ — jxAO,
AT = — L(AO — Aa^ — ji.Ae)-|-Pt(A5^ -f-vAe) — /Ai:,
A8'r= — MAa^ -h A$(C -h [M(l — fi) -h v] AO -h mAïc,
Aa'= (i — L) Aa^ — Pt Ao^j; -h [fx(i — L) — PiV 4- L]A6 4- /Ait.
Les valeurs Aa', AS', portées dans l'expression de AD, donnent
AD m AAa^-h BaS^-+- (AL-h BM — A)A«^ -h (AP, — B)a8^
— [AL+BM— ii(AL4-BM-A) — v(APi — B)]A6 — (A/-hBm)Ait.
Or le calcul montre que les quantités AL -4- BM, P| A ne dépassent pas numériquement o,oo5 et qu'on peut les négliger devant A, B; alors l'expression précédente se réduit à
ADzn— A(Aa(C — AaJ — B(A8(f — A8 J
— [A(ii."hL)-hB(v-hM)]AO — (A/-hBm)A7r.
Exprimons A6 en secondes de temps et posons
i5[A(in- L) -h B(v -h M)] = a, A/4-B/n= 6;
l'équation de condition devient, en y remplaçant AD par sa valeur,
Ar4-A[Aa^ — AaJ-hB[A8j — a8J 4- a AO«-h 6 Aie = D — r.
Remarque. — Dans un travail d'ensemble, il est important d'introduire dans cette équation, au lieu des corrections Ar, Air,
variables avec le temps, les corrections constantes Ar^y Air^ au demi-diamètre et à la parallaxe de la Lune à sa distance moyenne adoptés dans les Tables qu'on emploie. On n'a pour cela qu'à profiter des relations
et à poser
Arn: — Aro, Aie m — AtCq,
l'équation de condition est alors
— Aro-hA[A«<£ — AaJ-hB[AÔ^ — ASj4-aA0«+6'AiCo = D — r,
où A6 est exprimée en secondes de temps et les autres corrections en secondes d'arc.
40. Degré de séparabilité des inoonnues* — On traite habituellement par les moindres carrés les équations de condition que fournit une série d'occultations. A cet égard, il est intéressant de se rendre compte du degré de séparabilité des inconnues ; pour cela il suffit d'évaluer les coefficients probables de ces dernières dans les équations normales établies par cette méthode. Nous ferons cette recherche seulement pour les inconnues Ar, Aa, AS, dont la séparabilité dépend presque exclusivement de la distribution des phénomènes observés suivant l'angle de position. Ainsi, nous supposerons les premiers membres des équations de condition réduits à
Ar -h/cos8 sinP Aa -h/cosP a8.
Parmi ces équations, considérons d'abord celles, en nombre /i, relatives à des immersions et formons les équations normales correspondantes. Dans celles-ci les coefficients des
inconnues pourront s'écrire :
Ar. Aa. A8.
1 ^ ^V^9ÎnP -V^ COSP
