Nomenclature et notation. — Je nomme

« la demi-amplitude d'une hyperbole, ou l'angle aigu d'une asymptote avec l'axe focal, ou la moitié de la courbure totale de chaque branche -de l'hyperbole;

p la distance périhélie (où distance périgée s'il s'agit d'une orbite géobarique), distance d'un foyer de l'hyperbole au sommet le plus voisin ;

D la distance à l'asymptote, perpendiculaire abaissée d'un foyer sur une asymptote ;

V la vitesse périhélie (ou vitesse périgée dans une orbite géobarique), vitesse d'un point qui pèse vers le foyer suivant la loi de Newton, à l'instant de son passage par le périhélie de l'orbite hyperbolique ;

v la vitesse à l'asymptote du même point pesant, lorsqu'à une distance infinie du foyer attractif il se meut uniformément sur l'asymptote;

À demi-axe focal, distance du centre de l'hyperbole au périhélie;

d rayon d'une orbite circulaire (ou demi-axe focal d'une orbite elliptique) pour un point pesant qui parcourt en entier cette orbite dans l'unité de

temps. (Pour les orbites héliobariques, a désignera le grand -5- axe de l'orbite terrestre, en prenant Tannée sidérale pour unité de temps.)

3. Propriété géométrique des hyperboles. — La nécessité de considérer les distances p et D m'a conduit à reconnaître une relation très-simple entre ces longueurs et l'amplitude. Je ne sais si cette propriété est nouvelle ou déjà conni^e. Elle est fondée sur ce que, dans un arc de cercle, la droite qui joint une extrémité de Tare à son sommet fait avec la corde un angle égal au quart de l'angle au centre sous-temdu par l'arc entier; par conséquent le rapport de la flèche d'un arc de cercle à sa demicorde est la tangente du quart de l'angle au centre. Le lecteur peut, au besoin, appliquer cette propriété à l'hyperbole, à l'aida de la figure 1 re . On obtient ainsi l'équation

(1) -£- — tang.j«.

C'est-à-dire que « le rapport entre la distance périhélie « et la distance à l'asymptote est la tangente trigonométri- « que du quart de l'amplitude de l'hyperbole. »

4. Propriété tirée de la loi des aires. — À l'instant du* passage au périhélie, le recteur décrit, par unité de temps, une aire dont le double est le produit de ce vecteur et de la vitesse périhélie ; et quand le même point pesant est en mouvement uniforme sur l'asymptote de son orbite, le vecteur, quoique infini, décrit une aire finie dans chaque unité de temps : cette aire est un triangle qui a pour base la vitesse à l'asymptote, et pour hauteur la distance du foyer à cette asymptote. Elle équivaut, suivant la première loi de Kepler, à celle décrite par unité de temps

lors du passage au périhélie. Donc, « le produit de la << distance périhélie et de la \itesse périhélie est égal à ce- « lui de la dislance à l'asymptote et de la vitesse à l'a- « symptole, » ce qui s'exprime par l'équation

(2) Vp = t>D.

5. Propriété des. carrés des vitesses. — Lorsqu'un point pesant se meut en obéissant à l'attraction d'un point fixe en raison inverse du carré du rayon vecteur, on sait que le carré de la vitesse du mobile s« compose de deux .termes, dont l'un, toujours positif, est variable en raison jnverse du vecteur ; tandis que l'autre, qui est la constante d'intégration, peut être négatif, nul ou positif.

Bans le premier cas, le terme constant négatif peut prendre le nom de déficit elliptique, car l'orbite est alors une ellipse dont l'axe focal entier est en raison inverse de la racine carrée de la grandeur absolue de cette constante, parce que la vitesse est* nulle à une distance du foyer attractif inverse de la racine carrée de cette constante ; si le mobile est placé sans vitesse initiale à cette distance du foyer, l'orbite devient une ellipse réduite à son grand axe doublé sur lui-même.

Dans le second cas, où la constante d'intégration est nulle, la vitesse est nulle à une distance infinie, et l'orbite prend la forme parabolique; limite commune des ellipses et des hyperboles. Ainsi « le terme variable et positif du « carré de la vitesse représente le carré de la vitesse « parabolique. » Pour toute vitesse plus grande que la vitesse parabolique, la constante d'intégration est positive, et on peut la nommer excès hyperbolique.

Dans le troisième cas, on effet, la dislance croît sans limite, sans que la vitesse se réduise à zéro ; car il reste, pour représenter le carré de la vitesse à l'infini, la cons-

SUa LES ORBITES HYPERBOLIQUES. T

tacite positive d'intégration. Il faut alors, pour satisfaire à la loi des aires, que la distance du foyer à la tangente à l'infini ne soit pas infinie comme dans la parabole, mais qu'elle ait une valeur finie D, pour que le produit t?D ait la mêltoe valeur que celui de la vitesse en tout autre point de l'orbite par là distance du foyer à la tangente en ce point de l'orbite.

D'autre part, un point pesant qui décrit dans l'unité de temps une orbite circulaire de rayon a reçoit, dans la même'tinité de temps, une accélération vers le centre qui, si elle agissait seule pendant tout ce temps sur un point sans vitesse initiale, en conservant la même intensité qu'elle possède à la distance a, imprimerait à ce point une vitesse 4 7t* a. Donc, si une comète décrit une hyperbole héliobarique, on a, avec la notation ci-dessus :

C'est-è-dire que, en prenant suivant l'usage nécessaire le grand j- axe de l'orbite terrestre pour unité linéaire, et eu prenant en outre l'année sidérale pour unité de temps, « te c carré de la vitesse périhélie d'une comète à orbite « hyperbolique est égal au carré de la vitesse à l'asym- « ptote plus un terme égal à 8* 2 ou à 78,9568 divisé par « la distance périhélie. »