CHAPITRE H

Système des orbites hyperboliques des particules d'une Comète sans vitesse initiale absolue.

9. Gerbe d'orbites hyperboliques. — Ces lois des orbites byperholiques jettent quelque lumière sur les mouvements des diverses parties d'une comète qui, venant des profondeurs du ciel, pénètre dans le système solaire, et aussi sur celles qui, en voyageant dans l'intérieur du système solaire, rencontrent sur leur passage l'empire local d'une planète enclavé dans l'empire du Soleil. Dans cette recherche nous attribuons aux particules pesantes de la coeaète des masses très-petites, sans actions sensibles entre elles, de sorte que chacune de ces particules décrit son orbite héliobarique (et même géobarique), indépendamment des orbites des autres particules, avec lesquelles elle voyage de conserve jusqu'à ce que ces orbites indépendantes se mettent à diverger.

Ainsi, pour prendre d'abord le cas le plus simple, nous supposerons le Soleil en mouvement uniforme sur une trajectoire rectiligne inconnue, et nous considérerons, près de cette trajectoire, infiniment loin en avant, -une multitude de points pesants sans vitesse initiale : dès lors, quoique les distances de ces points au Soleil soient encore infinies, ils ont déjà tous une vitesse finie relative au Soleil, égale parallèle et contraire à la vitesse de translation du Soleil. Leurs orbites héliobariques sont des hyperboles dont les

plans concourent le long de la trajectoire du Soleil ; celleci marque sur la sphère céleste héliocentrique le point radiant de ces petits corps ; les premières asymptotes de de ces hyperboles héliobariques sont parallèles entre elles, puisqu'elles le sont à la trajectoire solaire ; et dans ce fais^ ceau d'orbites les vitesses à l'asymptote sont égales entre elles et à la vitesse de translation du SoleiL Rabattons maintenant toutes ces hyperboles sur le plan de Tune d'elles, autour de l'intersection commune dé ces plans pomme charnière. Nous obtiendrons ainsi un système d'hyperboles que je nommerai Gerbe d'Orbites hyperboliques, pour rappeler la configuration de leur ensemble. Peut-être pensera-t-on (?) que la nouveauté du sujet demande que œtte Gerbe soit dessinée : e*est ce que j'ai fait.dans:la figure 2, et voici les détails nécessaires pour exécuter ce «dessin avec toute la correction qu'on jugera utile.

S, Soleil en mouvement sur la trajeotoire ST avec la vitesse uni/orme -+- 1>.

SO, longueur commune A des j axes focaux des hyperboles de la Gerbe, mesurée sur la trajectoire, à rebours de v, ou en amont du Soleil.

OB, perpendiculaire à la trajectoire solaire, lieu des centres des hyperboles.

AC, parallèle à la trajeotoire, première asymptote d'une des hyberboles (numérotée 5 dans la figure 2), coupant OB au centre C de cette hyberpole. Une particule de la comète entre dans le système solaire par cette première asymptote avec la vitesse héliocentrique — v.

SCA = a = SCA', demi-amplitude. ACA' = 2 a, amplitude de l'orbite hyperbolique numéro 5.

CA', deuxième asymptote de l'hyperbole, par laquelle la particule de comète s'échappera du système solaire, avec une vitesse de sortie héliocentrique égale en grandeur à #.

GP = OS, dirigée suivant C S, demi-axe A de l'hyperbole.

P est le périhélie de oette orbite hyperbolique. La branche située dans l'angle ÀCA' fait seule fonction d'orbite. L'autre branche, ponctuée dans la figure, n'a qu'une existence purement géométrique, car elle est mécaniquement inaccessible au point matériel qui pèse vers le foyer S; de même que la première branche, à son tour, est mécaniquement inaccessible à un point matériel qui décrit la deuxième branche, en obéissant à une répulsion émanée du foyer S. Le sommet P' de cette seconde branche n'est point un aphélie, les orbites elliptiques ayant seules des aphélies. (Je crois me souvenir que M. Schiaparelli a fait erreur sur ce point, en parlant des aphélies des orbites cométaires hyperboliques ?)

SQ = OC = D, perpendiculaire à ÀC, distance à l'asymptote.

SP =p, distance périhélie.

SPR, branche de conchoïde dont S est le pôle et OB la base, avec rehaussement en S, lieu des périhélies P.

S'P'R', seconde branche de la même conchoïde, ayant en S' un rayon de courbure = 4À, lieu des sommets P' des deuxièmes branches des hyperboles de la Gerbe.

S'E, parabole ayant son sommet en S', sur la trajectoire solaire, à une distance SS' du soleil égale à l'axe focal 2A des hyperboles de la série, et son foyer en S ; courbe-enveloppe des deuxièmes branches des hyperboles de la Gerbe.

Pour prouver que la parabole S'E est la courbe-enveloppe des deuxièmes branches, on peut se servir d'un théorème très-facile à démontrer géométriquement, à l'aide de la somme ou de la différence des vecteurs des coniques ; ce théorème s'énonce ainsi : « Une série de coniques si- « tuées dans un plan, qui ont un point commun A, un « foyer commun F et des axes focaux égaux à 2a, a pour « enveloppe une conique dont les foyers sont F et A, et

« dont Taxe focal 2a' est égal à 4a moins la distance FA ; « les centres des coniques ainsi enveloppées sont rangés « sur un cercle centré au milieu de la distance À F, et « dont le diamètre est la différence entre la longueur À F « et Taxe focal donné 2a. » Notre Gerbe d'hyperboles héliobariques est un cas particulier d'un tel système de coniques, dans lequel on a envoyé à l'infini le point commun A. (Voir la \™ note page 77 et la figure 6, planche I.)

Cette parabole est osculatrice en S' de la branche de conchoïde lieu des sommets des deuxièmes branches des hyperboles.

On peut encore appeler l'attention du dessinateur sur deux courbes dont le tracé correct peut aider à la pureté du dessin, savoir :

GIH, courbe-enveloppe des deuxièmes asymptotes des hyperboles de la Gerbe, ayant en G un rebroussement qui touche SO en son milieu ; cette courbe touche OB en I à une distance 01 = OS. Le point I est le centre de l'hyperbole équilatère qui fait partie de la Gerbe.;

SK, lieu des centres de courbure des sommets des premières branches des hyperboles. Pour construire un de ces centres, je renvoie à la figure i r % la figure 2 étant déjà trop chargée. Ainsi, par le point A (figure \ Te ), on mène une perpendiculaire à CA, coupant l'axe focal en Q, centre de courbure du sommet P de l'hyperbole et rebroussement delà développée. Le cercle osculateur en P, dessiné légèrement au crayon, facilitera notablement le dessin de l'hyperbole avec laquelle il a un contact quadriponctuel, et avec laquelle il se confond dans l'épaisseur du trait, assez loin du sommet ; en sorte que, même dans un dessin très-pur, on peut tracer au compas un arc assez étendu de ce cercle osculateur, pour tenir lieu d'un arc considérable de l'hyperbole.