OC
V = Vt + -r- ( 1 — COS a );
d’où :
, ÛC . ,
dv = — r— sinaaa.
Al
En appelant n, le nombre de tours par seconde, on a pour le temps x compté en secondes :
Nous portons dans (3) les valeurs de dv et de dx, en remplaçant également w par sa valeur.
Il vient alors :
üC , 4 / t. — t da.
ï -j- smada = ïi»91,8 \J r.x, .
En élevant au carré et en posant :
cette équation devient :
Elle donne une relation entre la densité y de la vapeur et sa température t. Il y aune autre relation entre ces quantités, qui est fournie par la thermodynamique. Il est donc possible de trouver y et t.
On peut le faire par des constructions géométriques simples, en remarquant que l’équation (4) représente une parabole dont le paramètre est :
«v-[ Ti M V-
Ap ~ \^n\KÜC sina J
Si on calcule pour une valeur donnée de a le terftië
variable de ce paramètre, on obtiendra facilement sma
la valeur 2/? et on pourra construire la parabole corrëspondante.
Prenons deux axes rectangulaires :
00, axe des températures,
Oy axe des densités.
Portons :
Si on prend 0 comme origine des abscisses, un point P
de 00, représentera la température t\ et si on prend O, comme origine , le même point P représentera tx — t. Dès lors la parabole exprimée par l’équation (4) a son sommet en 0> et est telle que O xmn.
D’autre part, construisons, d’après les tables données dans les traités de thermodynamique la courbe G mm' G', donnant la valeur de y pour chaque valeur de t.
Le point d’intersection m de la courbe GG7 et de la parabole, donne la valeur cherchée de y.
En construisant une série de paraboles, pour diverses valeurs de a, on obtient pour chacune d’elles une valeur de y.
Avec ces valeurs de y et en prenant pour abscisses les longueurs parcourues par le piston, proportionnelles aux volumes engendrés, on peut construire une courbe, AB. Cette courbe est telle qu’au point A, fin de l’admission, l’ordonnée est nulle, puisque dans l’équation (4), to = 0.
La surface comprise entre cette courbe AB, les axes et une ordonnée quelconque MP, est proportionnelle à la quantité de vapeur admises pendant que le piston parcourt le chemin OP.
Par conséquent, la quantité de vapeur présente dans le cylindre, quand le piston est en P se compose de la vapeur admise, calculée en prenant l’aire OBMP, et de la vapeur qui remplissait l’espace libre au commencement de la course.
En divisant la masse de vapeur ainsi 0 déterminée par le volume du cylindre pour la position P du piston, on obtient la densité réelle de la vapeur pour l’instant considéré. On obtient ainsi une série de valeurs de la densité, qui permettent de construire par points la courbe BA'.
Cette courbe constitue, en première approximation, le diagramme des densités de la vapeur pendant l’admission, duquel on peut déduire, à l’aide des tables de la thermodynamique, le diagramme des pressions et celui des températures.
Au lieu de prendre comme abscisses les longueurs parcourues parle piston, on peut prendre les angles a de la manivelle, c’est-à-dire, des quantités proportionnelles au temps, et construire avec les abscisses a la courbe approchée des densités de la vapeur. La tangente en un point quelconque de cette courbe donne la valeur
De même, en construisant d’après la courbe approchée des densités, la courbe approchée des températures, on peut calculer les échanges de chaleur entre la vapeur et les parois et en déduire les quantités de vapeur condensée, que nous avons désignées plus haut par e. Par
conséquent on connaîtra
En portant les valeurs ainsi trouvées dans l’équation différentielle (2), elle devient :
y dv = v ^ do. v.iûwdx — ^ da,
rfa a a
ou en remplaçant dv et d'z par leurs valeurs en fonction de cl :
y — Sinada A
dy , d a
v d« + ll„w
dt J
En faisant passer dans le premier membre le premier et le troisième terme du second membre, on voit que cette équation est de la forme :
Elle représente, pour chaque valeur de l’angle a, une certaine parabole qui a son sommet sur l’axe Oi y de la fig. 8, à une distance de Ot égale à A, et dont l’axe est parallèle à OOr Cette parabole est telle que Oi m'ri. A chaque valeur de a correspond une parabole analogue, et les points d’intersection de ces paraboles avec la courbe GG' donnent une série de valeurs des densités, y, qui permettent, comme nous l’avons vu précédemment, de construire le diagramme des densités de la vapeur. Ce nouveau diagramme constitue une deuxième approximation.
On voit qu’en procédant à une série de constructions géométriques, on peut déterminer théoriquement avec telle approximation qu’on veut le diagramme des densités et en déduire celui des pressions de la vapeur.
On remarquera qu’en général la première approximation, qu’on obtient rapidement, pourra être considérée comme suffisante. En effet, les erreurs qu’on commettra seront faibles, parce que, d’une part l’influence du terme vd^ de l’équation (2) ne se fait sentir que vers la fin de l’admission, quand le laminage de la vapeur commence aux lumières par suite de la diminution de leur section, et que, d’autre part, la valeur de la quantité de vapeur condensée s ne s’accroît que très peu vers la fin de l’admission.
