III. Équations différentielles du mouvement de la chaleur

Le fait que le mouvement de la chaleur n’affecte qu’une petite épaisseur voisine de la surface et que dans le reste de l’épaisseur la température peut être considérée comme constante, permet d’assimiler les parois d’un cylindre à un mur d’épaisseur infinie, ce qui constitue un cas simple de la propagation de la chaleur.

On peut aussi imaginer un autre cas, encore plus simple à un certain point de vue, auquel peut tout aussi bien être assimilé le cas des parois d’un cylindre.

Considérons, par exemple, un mur d’épaisseur 2X, limité par deux plans infinis [fig. 4, PL XIV). Sur chaque face de ce mur se trouve une même source de chaleur. Si on envisage la propagation de la chaleur pendant un temps assez petit pour que le flux de chaleur n’ait pas

encore atteint le plan OY, la loi de propagation sur chaque face est évidemment la même que si le mur avait une épaisseur infinie. Dans le nouveau cas que nous considérons, tout est symétrique par rapport au plan médian OY.

Nous allons donc étudier la propagation de la chaleur dans un mur limité par deux plans parallèles et tel que tout soit symétrique par rapport au plan médian. En ce qui concerne notamment l’état initial, si

représente cet état initial, la fonction F (a?) ne doit pas changer quand on remplace x par — x et doit, par conséquent, être une fonction paire de x.

La source de chaleur agissant sur les deux faces du mur considéré est entretenue à une certaine température, qui peut être constante ou variable avec le temps.

Il s’agit de déterminer les états successifs du solide pendant toute la durée de réchauffement.

Soit x la distance d’un point quelconque de l’axe OX au point O, v la température de ce point au temps t. On suppose, pour plus de généralité, que la température initiale, commune à tous les points placés à la distance x du plan O y, est différente pour les différentes valeurs de x et est représentée par l’équation :

Les points placés à la même distance du plan O y ne cesseront pas d’avoir une température commune ; ainsi v est une fonction de x et de t seulement. Lorsqu’on suppose ^ = 0, il est nécessaire que cette fonction convienne à l’état initial qui est donné.

Considérons le mouvement de la chaleur dans une couche infiniment peu épaisse, terminée par deux plans dont les distances au plan OY sont x et x — dx. La

quantité de chaleur qui passe de la partie du solide extérieure dans la couche d’épaisseur dx est égale, par unité de surface, à :

K Tx dt'

K étant le coefficient de conductibilité intérieure.

La quantité de chaleur qui s’écoule par le plan situé à la distance x — dx s’obtient en remplaçant x par x — dx dans l’expression précédente, ce qui donne :

Kpdt

dx

Kd^dxdL

Si on fait la différence entre ces deux expressions, on a la quantité de chaleur qui s’accumule dans la couche d’épaisseur dx\ c’est :

ï r (Pv

K dxdt.

dx -

Or la quantité de chaleur nécessaire pour élever de dv la température de la tranche considérée est :

CD dxdv,

où G est la chaleur spécifique et D la densité.

On a donc :

K —z dxdt = CD dxdv.

dx% ’

OU

dv

CD dx2

IV. Condition particulière à laquelle est assujettie la surface extérieure du mur (*)

Quand un solide s’échauffe sous l’influence d’air chaud ou de vapeur, il faut concevoir, d’après Foncier, que la

(*) C’est ici le lieu d’indiquer la différence fondamentale qu’il y a entre la théorie de M. Kirsch sur la propagation de la chaleur dans les parois d’un cylindre (voir l’ouvrage (le cet auteur: Die Bewegitng der ÏVarrrtë in den cylinderwahdungen der Dampf-

DU RENDEMENT RÉEL DES MACHINES A VAPEUR. Il

couche extérieure de ce solide est dans un état propre à faire entrer, à chaque instant, dans le solide, une

maschine; et la Revue universelle de Liège, 3e série, t. VI, 1839) et la mienne. M. Kirsch admet que la surface intérieure d’un cylindre a, à chaque instant, la température de la vapeur qui la touche. Celte température de la vapeur, T, peut être exprimée par une fonction, F (a) (a étant l’angle de manivelle, proportionnel au temps), développable en une série de sinus; de sorte qu’on peut poser :

F (a) = A0 -F At sin a + A2 sin 2 a 4- ... An sin rca 4- ...

D’autre part, l’équation différentielle du mouvement de la chaleur,

dT dTT dT d2 T

dt dx2 °U da dX2

X étant une quantité proportionnelle à la profondeur, x, du point considéré de la paroi, a pour intégrale générale :

T = A0+2 Ce” x^cos(pa — X\/p — B),

où p est un nombre entier positif quelconque et C et B des constantes.

En faisant dans cette intégrale X = 0 et en l’identifiant avec le développement de F (a), on trouve, sans difficulté, que l’équation générale de la température à une profondeur X est la suivante :

T = A0 + A^- xsin (a — X) + A2e~x^.sin (2 a — X^2)