V. Résolution du système (A) dans le cas où 0 — constante

■ Fourier, en étudiant la propagation de la chaleur dans une sphère solide, a donné la marche à suivre pour

résoudre le système d’équations (A) dans le cas où 0 est une constante. Mais, si on veut appliquer la théorie de la chaleur aux machines à vapeur, le cas où la température de la source est constante ne se présente jamais en pratique. Même pendant la durée de l’admission, la température de la vapeur varie.

Elle varie dans des limites très étendues, si on considère (ce qu’il est nécessaire de faire) une révolution complète. L’objet capital de la question consiste donc à trouver la solution générale des équations (A) dans le cas où 0 est une fonction quelconque du temps. En pratique, la fonction 9 est connue par le diagramme des pressions fourni par l’indicateur.

Pour trouver la solution dans le cas où G est variable, nous nous servirons de la solution dans le cas où G est constant. Par conséquent, c’est cette dernière que nous allons établir tout d’abord.

Supposons donc G constant et égal à G0. Prenons cette température constante comme zéro des températures, de sorte que v sera compté à partir de ce zéro. Par suite de cette hypothèse, le second membre de la seconde des équations (A), c’est-à-dire A(90 — T) s’éèrira simplement — h T, T représentant la température sur la surface du solide comptée en partant de 0O comme origine.

Dès lors, en posant == Æ, les deux premières des équations (A) s’écrivent :

dv j d* v dt ~~ K dx*

Une solution particulière de l’équation (1) est :

v = c kn2t(a cosnx + b sin nx).

Dans le cas où tout est symétrique par rapport à un

plan médian, la valeur de v doit être une fonction paire de x. Par conséquent il faut effacer le terme en sinus de la solution particulière, qui se réduit à :

v = ae~knit cos nx.

Dans cette expression a et n sont des constantes à déterminer.

La solution générale sera formée par une somme de solutions particulières en nombre infini, dans chacune desquelles les constantes a et n seront différentes. Donc la solution générale est de la forme

v = até~- kn^ 1 cos nxx + a2e~ftw** cos n2x

Elle contient une double série infinie de constantes arbitraires.