VI. Détermination de n
Les valeurs de n se déterminent facilement à l’aide de l’équation (2).
Considérons, en effet, une solution particulière :
v — ae ftw2*cos nx.
On en déduit :
dv
dx
= — ane fcw2fsinwa:.
dv
En portant dans (2) les valeurs de v et de après y avoir fait x — X, on a :
n sin nX = — cos nX, K
ou bien :
nX
hX
cotgnX K
/zX
En posant nX = e et -jr- = cette équation devient :
(3 bis)
Gomme l’a montré Fourier, cette équation a une infinité de racines réelles et est susceptible d’une interprétation géométrique simple qui permet de trouver toutes les racines.
Soit :
u = cotg &,
l’équation d’une ligne dont l’arc s est l’abscisse et u l’ordonnée ; et soit :
l’équation d’une droite dont e et u désignent aussi les coordonnées. L’inconnue e est l’abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite.
fig. 3.
La courbe est composée d’une infinité d’arcs. Les ordonnées sont nulles pour les valeurs des abscisses :
